Odpowiedź :
Odpowiedź:
Proszę bardzo! :)
ZADANIE 1
Założenia:
[tex]0^* < \alpha < 90^*[/tex]
a)
[tex]sin\alpha =\frac{2}{5} \\[/tex]
Skorzystajmy z tzw. jedynki trygonometrycznej do wyznaczenia cos.
[tex]sin^2\alpha+cos^2\alpha =1\\\\(\frac{2}{5})^2+cos^2\alpha =1\\\\\frac{4}{25}+cos^2\alpha =1\\\\cos^2\alpha =1-\frac{4}{25} \\\\cos^2\alpha =\frac{25}{25}-\frac{4}{25}\\\\ cos^2\alpha=\frac{21}{25} \ \ \ /\sqrt{} \\\\[/tex]
[tex]cos\alpha =\frac{\sqrt{21} }{5}[/tex] ∨ [tex]cos\alpha =-\frac{\sqrt{21} }{5}[/tex] ∉ do założenia
[tex]tg\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }\\\\tg\alpha =\frac{\frac{2}{5} }{\frac{\sqrt{21} }{5} }=\frac{2}{5}*\frac{5}{\sqrt{21} }=\frac{2}{\sqrt{21} }*\frac{\sqrt{21} }{\sqrt{21} }=\frac{2\sqrt{21} }{21}[/tex]
b)
[tex]tg\alpha =2\\\\tg\alpha=\frac{sin\alpha }{cos\alpha }\\\\2=\frac{sin\alpha }{cos\alpha } \ \ \ /*cos\alpha \\\\2cos\alpha =sin\alpha[/tex]]
Jedynka trygonometryczna!
[tex]sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\\\\(2cos\alpha)^2+cos^2\alpha =1\\\\4cos^2\alpha+cos^2\alpha =1\\\\5cos^2\alpha=1\ \ \ /:5\\\\cos^2\alpha=\frac{1}{5} \ \ \ /\sqrt{} \\\\cos\alpha =\frac{1}{\sqrt{5} }*\frac{\sqrt{5} }{\sqrt{5} }=\frac{\sqrt{5} }{5}[/tex] ∨ [tex]cos\alpha=-\frac{\sqrt{5} }{5}[/tex] ∉ do założenia
Mamy tg, mamy cos, więc teraz znajdźmy sinus korzystając znowu z jedynki trygonometrycznej!
[tex]sin^2\alpha +cos^2\alpha =1\\\\sin^2\alpha + (\frac{\sqrt{5} }{5})^2=1\\\\sin^2\alpha +\frac{5}{25}=1\\\\sin^2\alpha =\frac{25}{25}-\frac{5}{25} \\\\sin^2\alpha=\frac{20}{25} \ \ \ /\sqrt{}[/tex]
[tex]sin\alpha =\frac{\sqrt{20} }{5}=\frac{2\sqrt{5} }{5}[/tex] ∨ [tex]sin\alpha =-\frac{2\sqrt{5} }{5}[/tex] ∉ do założenia
ZADANIE 2
a)
[tex]tg\alpha*(1-sin\alpha )\\\\tg\alpha=\frac{sin\alpha }{cos\alpha }\\\\\frac{sin\alpha }{cos\alpha }(1-sin\alpha )=\frac{sin\alpha }{cos\alpha }-\frac{sin^2\alpha }{cos\alpha }=\frac{sin-sin^2\alpha }{cos\alpha }[/tex]
b)
[tex](1-sin\alpha )(1+sin\alpha )=1+sin\alpha -sin\alpha -sin^2\alpha=1-sin^2\alpha =1-(1-cos^2\alpha)=1-1+cos^2\alpha=cos^2\alpha[/tex]
Jakim cudem zamieniłem [tex]sin^2\alpha[/tex] na [tex]1-cos^2\alpha[/tex]?
Przekształciłem jedynkę trygonometryczną:
[tex]sin^2\alpha +cos^2\alpha =1\\\\sin^2\alpha =1-cos^2\alpha[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
