Odpowiedź:
3. a)
Dziedzina: D: x + 1 > 0 ⇒ x > - 1 ⇒ D: x ∈ R \ {(- ∞, - 1⟩
[formułę zapisanej dziedziny wypowiemy następująco: x należy do liczb rzeczywistych - minus zbiór (lub za wyjątkiem zbioru (- ∞, - 1⟩ ]
b)
Wyznacz miejsca zerowe funkcji f.
Miejsca zerowe są to punkty, w których wykres wykres funkcji przecina oś 0x, dla tych punktów wartość funkcji y = f(x) = 0
Jak widzimy wzór funkcji, to gdy w nawiasie wystąpi wartość 0, a więc dla x = 1 lub dla x = - 2, to iloczyn nawias przez nawias będzie = 0, więc y = f(x) = 0 a punkty x = 1 lub x = - 2 są miejscami zerowymi funkcji (nazwa wynika właśnie z tego, że funkcja w tych punktach przyjmuje wartość 0).
Tak by było, gdyby w mianowniku nie było tego √(x + 1), bo w Dziedzina: D: właśnie wykluczyliśmy już punkt x = - 2. Z tej przyczyny pozostało tylko jedno miejsce zerowe: x = 1.
c)
Oblicz f(2)
Należy do wzoru funkcji f(x) podstawić x = 2 i obliczyć wartość funkcji
y = f(x) = i nic więcej.
f(2) = 3(2 - 1)(2 + 2)/√(2 + 1) = 3• 1• 4/√(2 + 1) =
= 12/√3 = 12√3/√3•√3 = 1212√3/√3•√3/3
[na końcu (pogrubione) mnożąc licznik i mianownik przez •√3 usunęliśmy niewymierność z mianownika (bo √3 jest liczbą niewymierną a wskazane jest, ze liczba niewymierna nie powinna występować w mianowniku)]
Szczegółowe wyjaśnienie:
3. a)
Wiemy, że w matematyce nie ma takiego działania, jak dzielenie przez 0, np:, x : 0, x/0, więc w przypadku podanej funkcji, w Dziedzinie musimy wykluczyć z mianownika wartość 0, to zapiszemy x + 1 ≠ 0
Jeśli rozważamy pierwiastek stopnia parzystego np. √9 = 3 bo 3² = 9 ale (-3)² też = 9, ∜16 = 2 bo 2⁴ = 16 ale (- 2)⁴ też = 16, jak widzimy, nie ma takiej możliwości, żeby pod pierwiastkiem parzystego stopnia wystąpiła wartość ujemna, < 0.
Inaczej jest ze stopniem nieparzystym, np., ∛8 = 2 bo 2³ = 8, ale jest też, że ∛(- 8) = - 2 bo (- 2)³ = - 8. Chciałem takimi przykładami wykazać, ze w dziedzinie musimy też wykluczyć wartość ujemną pod pierwiastkiem stopnia parzystego to x + 1 > 0 to x > - 1
Jeszcze tylko zwróćmy uwagę, że warunek x + 1 > 0 zawiera jednocześnie warunek x + 1 ≠ 0.
to: Odpowiedź:
Dziedzina: D: x + 1 > 0 ⇒ x > - 1 ⇒ D: x ∈ R \ {(- ∞, - 1⟩
[formułę zapisanej dziedziny wypowiemy następująco: x należy do liczb rzeczywistych R - minus zbiór (lub za wyjątkiem zbioru (- ∞, - 1⟩, prawy nawias określenia zbioru wskazuje, że wykluczony jest również element zbioru - 1 ]
b)
Wyznacz miejsca zerowe funkcji f.
Miejsca zerowe są to punkty, w których wykres wykres funkcji przecina oś 0x, dla tych punktów wartość funkcji y = f(x) = 0
Jak widzimy wzór funkcji, to gdy w nawiasie wystąpi wartość 0, a więc dla x = 1 lub dla x = - 2, to iloczyn nawias przez nawias będzie = 0, więc y = f(x) = 0 a punkty x = 1 lub x = - 2 są miejscami zerowymi funkcji.
Tak by było, gdyby w mianowniku nie było tego √(x + 1), bo w Dziedzina: D: właśnie wykluczyliśmy już punkt x = - 2. Z tej przyczyny pozostało tylko jedno miejsce zerowe: x = 1.
c)
Oblicz f(2)
Należy do wzoru funkcji f(x) podstawić x = 2 i obliczyć wartość funkcji
y = f(x) = i nic więcej.
f(2) = 3(2 - 1)(2 + 2)/√(2 + 1) = 3• 1• 4/√(2 + 1) =
= 12/√3 = 12√3/√3•√3 = 1212√3/√3•√3/3
[na końcu (pogrubione) mnożąc licznik i mianownik przez •√3 usunęliśmy niewymierność z mianownika (bo √3 jest liczbą niewymierną a wskazane jest, ze liczba niewymierna nie powinna występować w mianowniku)]