Witaj :)
Mamy do udowodnienia następującą tożsamość trygonometryczną:
[tex]\large \boxed{\frac{\cos x-\cos 3x}{\sin3x -\sin x}=tg2x}[/tex]
Spróbujemy doprowadzić lewą stronę naszego równania do prawej. Po pierwsze zauważamy, że w liczniku mamy cosinus potrojonego kąta, a w mianowniku sinus potrojonego kąta. Skorzystamy ze wzorów:
[tex]1)\ \cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x\\2)\ \sin 3x= -4\sin^3 x+3\sin x[/tex]
Podstawmy to:
[tex]L= \frac{\cos x-(4\cos^3 x-3\cos x)}{-4\sin^3 x+3\sin x-\sin x} =\frac{\cos x-4\cos^3 x+3\cos x}{-4\sin^3 x+2\sin x} =\frac{4\cos x-4\cos^3 x}{-4\sin^3 x+2\sin x}=\\ \\=\frac{4\cos x(1-\cos^2 x)}{2\sin x(1+2\sin^2x)}=[/tex]
Teraz skorzystamy z "jedynki trygonometrycznej", która wygląda następująco:
[tex]3)\ \sin^2x+\cos^2x =1[/tex]
Podstawiamy:
[tex]=\frac{4\cos x(\sin^2x+\cos^2x-\cos^2x)}{2\sin x(\sin^2x+\cos^2x-2\sin^2x)}=\frac{2\cos x\cdot sin^2x}{\sin x(\cos^2x-\sin ^2x)}=[/tex]
Zauważamy, że w mianowniku mamy wzór na cosinus podwojonego kąta:
[tex]4)\ \cos^2x-\sin^2x=\cos2x[/tex]
Podstawiamy:
[tex]=\frac{2\cos x\cdot \sin^2x}{\sin x\cdot \cos2x} =\frac{2\cos x\cdot \sin x}{\cos 2x} =[/tex]
Teraz widzimy, że w liczniku mamy wzór na sinus podwojonego kąta:
[tex]5)\ 2\cos x\cdot \sin x=\sin 2x[/tex]
Podstawiamy:
[tex]=\frac{\sin2x}{\cos2x} =tg2x=P[/tex]
Jak widzimy podana tożsamość trygonometryczna jest prawdziwa, ponieważ otrzymaliśmy równość L=P.