b)
Dzielenie schematem Hornera:
Schemat Hornera służy do dzielenia wielomianu przez dwumian x-p.
KROK 1
Tworzymy tabelkę, w której w pierwszym wierszu podajemy współczynniki przy odpowiednich potęgach x, zaczynając od współczynnika przy najwyższej potędze (w przypadku braku jakiejś potęgi x, przyjmujemy współczynnik równy 0). W tym przypadku współczynnikiem przy najwyższej potędze jest 5, a kolejne to -20, 8, 20 i 7.
[tex]\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|}&5&-20&8&20&7\\&&&&&\end{tabular}[/tex]
KROK 2
W drugim wierszu w pierwszej kolumnie wpisujemy p z dwumianu, przez który dzielimy (tu 3), a w drugiej kolumnie wpisujemy współczynnik przy najwyższej potędze (tu 5).
[tex]\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|}&5&-20&8&20&7\\3&5&&&&\end{tabular}[/tex]
KROK 3
W kolejnych kolumnach wpisujemy wyniki działań: liczbę z poprzedniej kolumny mnożymy przez p i dodajemy liczbę z tej samej kolumny, ale pierwszego wiersza.
[tex]5*3-20=-5\\-5*3+8=-7\\-7*3+20=-1\\-1*3+7=4[/tex]
[tex]\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|}&5&-20&8&20&7\\3&5&-5&-7&-1&4\end{tabular}[/tex]
KROK 4
Wynikiem dzielenia jest wielomian o jeden stopień niższy niż wielomian będący dzielną, a jego współczynniki począwszy od najwyższej potęgi znajdują się w wierszu drugim w kolumnach od drugiej do przedostatniej. W ostatniej kolumnie jest reszta z dzielenia (o ile reszta jest różna od 0).
[tex](5x^4-20x^3+8x^2+20x+7):(x-3)=(5x^3-5x^2-7x-1)\ \text{reszta}\ 4[/tex]
e)
[tex]\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|}&5&-10&0&0&3&-6\\2&5&0&0&0&3&=\end{tabular}\\\\(5x^5-10x^4+3x-6):(x-2)=5x^4+3[/tex]