Odpowiedź:
Użyte wzory (i ich różne przekształcenia):
[tex]tg\alpha = \frac{sin\alpha }{cos\alpha } \\sin^{2}\alpha + cos^2\alpha = 1\\2sin\alpha cos\alpha = sin2\alpha \\cos^2\alpha - sin^2\alpha = cos2\alpha[/tex]
dla uproszczenia przyjmijmy, że x = [tex]\alpha[/tex]
[tex](1 - 2sinxcosx)(tgx + 1) = (sin^2x-cos^2x)(tgx-1)\\tgx + 1 - 2*sinx*cosx*tgx - sin2x = sin^2x*tgx - sin^2x - cos^2x * tgx + cos^2x\\tgx + 1 - 2*sin^2x - sin2x = (1-cos^2x)tgx + cos2x - cos^2x*tgx\\tgx + 1 - 2*sin^2x - sin2x = tgx - cos^2x*tgx + cos2x - cos^2x*tgx\\1 -2*sin^2x - sin2x = 2 (-cos^2x*tgx) + cos2x\\1 - 2sin^2x - sin2x = -2*sinx*cosx + cos2x\\1-2sin^2x = cos2x\\1 - 2sin^2x = cos^2x - sin^2x\\1 = cos^2x + sin^2x[/tex]
Zasada jedynki trygonometrycznej ([tex]sin^2x + cos^2x = 1[/tex]) jest spełniona dla każdej liczby, także nawet jeśli cosx≠0, to podana równość jest prawdziwa.
