Szukamy liczb postaci [tex]10x+y[/tex] gdzie [tex]x\in\{1,2,\ldots,9\}[/tex] i [tex]y\in\{0,1,\ldots,9\}[/tex], które są podzielne przez [tex]x+y[/tex], innymi słowy dla których zachodzi [tex]\dfrac{10x+y}{x+y}\in \mathbb{Z}[/tex].
[tex]\dfrac{10x+y}{x+y}=\dfrac{10x+10y-9y}{x+y}=\dfrac{10(x+y)-9y}{x+y}=10-\dfrac{9y}{x+y}[/tex]
Powyższe jest liczbą całkowitą gdy ułamek [tex]\dfrac{9y}{x+y}[/tex] jest liczbą całkowitą, a takie jest gdy [tex]9y[/tex] jest podzielne przez [tex]x+y[/tex] (co również można zapisać symbolicznie [tex]\dfrac{9y}{x+y}\in\mathbb{Z}[/tex]).
Podstawmy pod [tex]y[/tex] kolejne liczby od 0 do 9 i sprawdźmy dla jakich wartości [tex]x[/tex] zachodzi powyższe.
[tex]y=0\\\\\dfrac{9y}{x+y}=\dfrac{0}{x}[/tex]
0 jest podzielne przez każdą liczbę całkowitą, a więc powyższe zachodzi dla dowolnego [tex]x[/tex] z podanego zbioru. Zatem możliwe liczby w tym przypadku to 10,20,30,40,50,60,70,80,90.
[tex]y=1\\\\\dfrac{9y}{x+y}=\dfrac{9}{x+1}[/tex]
9 jest podzielne przez [tex]x+1[/tex] gdy [tex]x\in\{2,8\}[/tex]. Możliwe liczby w tym przypadku to zatem 21 i 81.
[tex]y=2\\\\\dfrac{9y}{x+y}=\dfrac{18}{x+2}[/tex]
18 jest podzielne przez [tex]x+2[/tex] gdy [tex]x\in\{1,4,7\}[/tex]. Możliwe liczby w tym przypadku to 12,42,72.
[tex]y=3\\\\\dfrac{9y}{x+y}=\dfrac{27}{x+3}[/tex]
27 jest podzielne przez [tex]x+3[/tex] gdy [tex]x=6[/tex]. W tym przypadku jedyna możliwa liczba to 63.
[tex]y=4\\\\\dfrac{9y}{x+y}=\dfrac{36}{x+4}[/tex]
36 jest podzielne przez [tex]x+4[/tex] gdy [tex]x\in\{2,5,8\}[/tex]. W tym przypadku możliwe liczby to 24,54,84.
[tex]y=5\\\\\dfrac{9y}{x+y}=\dfrac{45}{x+5}[/tex]
45 jest podzielne przez [tex]x+5[/tex] gdy [tex]x=4[/tex]. W tym przypadku możliwa liczba to 45.
[tex]y=6\\\\\dfrac{9y}{x+y}=\dfrac{54}{x+6}[/tex]
54 jest podzielne przez [tex]x+6[/tex] gdy [tex]x=3[/tex]. W tym przypadku możliwa liczba to 36.
[tex]y=7\\\\\dfrac{9y}{x+y}=\dfrac{63}{x+7}[/tex]
63 jest podzielne przez [tex]x+7[/tex] gdy [tex]x=2[/tex]. W tym przypadku możliwa liczba to 27.
[tex]y=8\\\\\dfrac{9y}{x+y}=\dfrac{72}{x+8}[/tex]
72 jest podzielne przez [tex]x+8[/tex] gdy [tex]x\in\{1,4\}[/tex]. W tym przypadku możliwe liczby to 18,48.
[tex]y=9\\\\\dfrac{9y}{x+y}=\dfrac{81}{x+9}[/tex]
81 nie jest podzielne dla żadnego możliwego [tex]x[/tex].
Wypisując teraz wszystkie liczby z każdego przypadku mamy: 10,12,18,20,21,24,27,30,36,40,42,45,48,50,54,60,63,70,72,80,81,84,90.
Uwzględniając jeszcze liczby ujemne (które otrzymujemy po prostu dopisując minus do powyższych) dostajemy ostatecznie: -90,-84,-81,-80,-72,-70,-63,-60,-54,-50,-48,-45,-42,-40,-36,-30,-27,-24,-21,-20,-18,-12,-10,10,12,18,20,21,24,27,30,36,40,42,45,48,50,54,60,63,70,72,80,81,84,90.
Czyli łącznie jest 46 liczb.
