Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{Zad.4\ Odp:3}\\\boxed{Zad.5\ Odp:\{0,\ 2,\ 8\}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zad.4
Weźmy kolejne potęgi liczby 3:
[tex]3^1=\boxed{3}\\3^2=\boxed{9}\\3^3=2\boxed{7}\\3^4=8\boxed{1}\\3^5=24\boxed{3}\\3^6=72\boxed{9}\\\vdots[/tex]
Widzimy, że ostatnie cyfry zaczynają się powtarzać. Mamy cztery różne cyfry.
Wystarczy nam teraz podzielić 125 przez 4 i określić resztę z dzielenia, która będzie wskazywać nam ostatnią cyfrę:
reszta = 0, to taka sama cyfra, jak przy [tex]3^4[/tex]
reszta = 1, to taka sama cyfra, jak przy [tex]3^1[/tex]
reszta = 2, to taka sama cyfra, jak przy [tex]3^2[/tex]
reszta = 3, to taka sama cyfra, jak przy [tex]3^3[/tex]
125 : 4 = 31 + r(1)
Czyli ostatnią cyfrą będzie cyfra tak jak przy [tex]3^1[/tex] → [tex]3[/tex].
Zad.5
Podwojony kwadrat liczby naturalnej: [tex]2n^2,\ n\in\mathbb{N}[/tex]
sprawdźmy dwukrotności kwadratów wszystkich liczb jednocyfrowych:
[tex]2\cdot0^2=0\\2\cdot1^2=2\\2\cdot2^2=8\\2\cdot3^2=18\\2\cdot4^2=32\\2\cdot5^2=50\\2\cdot6^2=72\\2\cdot7^2=98\\2\cdot8^2=128\\2\cdot9^2=162[/tex]
Stąd mamy, że możliwymi cyframi są cyfry:
[tex]\{0, 2, 8\}[/tex]
