[tex]f(x)=xe^{\frac{1}{x}}[/tex]
1. Dziedzina.
[tex]x\neq 0\\D_f=\mathbb{R}-\{0\}[/tex]
2. Granice na krańcach dziedziny.
[tex]\lim_{x \to 0^-} (xe^{\frac{1}{x}})= \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}\stackrel{[H]}{=}\lim_{x \to 0^-} \frac{e^{\frac{1}{x}*\left(-\frac{1}{x^2}\right)}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x \to 0^-} e^{\frac{1}{x}}=[e^{\frac{1}{0^-}}]=[e^{-\infty}]=0[/tex]
[tex]\lim_{x \to 0^+} (xe^{\frac{1}{x}})= \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{\frac{1}{x}}\stackrel{[H]}{=}\lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\frac{1}{x}*\left(-\frac{1}{x^2}\right)}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x \to 0^+} e^{\frac{1}{x}}=[e^{\frac{1}{0^+}}]=[e^{+\infty}]=+\infty[/tex]
[tex]\lim_{x \to -\infty} (xe^{\frac{1}{x}})=[-\infty*e^0]=[-\infty*1]=-\infty\\ \lim_{x \to +\infty} (xe^{\frac{1}{x}})=[+\infty*e^0]=[+\infty*1]=+\infty[/tex]
3. Asymptoty pionowe i poziome.
Z granic z punktu 2 wynika, że:
- prosta x = 0 jest asymptotą pionową prawostronną
- brak asymptot poziomych
4. Ekstrema.
Liczymy pochodną funkcji i jej miejsca zerowe.
[tex]f'(x)=(xe^{\frac{1}{x}})'=x'*e^{\frac{1}{x}}+x*(e^{\frac{1}{x}})'=1*e^{\frac{1}{x}}+x*e^{\frac{1}{x}}*(-\frac{1}{x^2}})=e^{\frac{1}{x}}-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}=e^{\frac{1}{x}}(1-\frac{1}{x})=\frac{x-1}{x}e^{\frac{1}{x}}\\f'(x)=0\\\frac{x-1}{x}e^{\frac{1}{x}}=0\ \text{ale}\ e^{\frac{1}{x}} > 0\\\frac{x-1}{x}=0\\x-1=0\\x=1[/tex]
Sprawdzamy, czy pochodna zmienia znak w x = 1.
[tex]f'(x) > 0\\\frac{x-1}{x}e^{\frac{1}{x}} > 0\ \text{ale}\ e^{\frac{1}{x}} > 0\\\frac{x-1}{x} > 0\\x(x-1) > 0\\x\in(-\infty,0)\cup(1,+\infty)\\f'(x) < 0\\x\in(0,1)[/tex]
Zatem funkcja w x = 1 zmienia znak z ujemnego na dodatni, czyli funkcja ma minimum lokalne dla x = 1 wynoszące
[tex]f_{min}=f(1)=1*e^{\frac{1}{1}}=e[/tex]
5. Przedziały monotoniczności.
Ze znaku pochodnej z punktu 4 wynika, że
[tex]f\nearrow\ \text{dla}\ x\in (-\infty,0)\ \text{i dla}\ x\in(1,+\infty)\\f\searrow\ \text{dla}\ x\in (0,1)[/tex]
6. Punkty przegięcia.
Liczymy drugą pochodną funkcji i jej miejsca zerowe.
[tex]f''(x)=\left(\frac{x-1}{x}e^{\frac{1}{x}}\right)'=(\frac{x-1}{x})'e^{\frac{1}{x}}+\frac{x-1}{x}(e^{\frac{1}{x}})'=\frac{(x-1)'*x-(x-1)*x'}{x^2}e^{\frac{1}{x}}+\frac{x-1}{x}e^{\frac{1}{x}}*(-\frac{1}{x^2})=\frac{x-(x-1)}{x^2}e^{\frac{1}{x}}-\frac{x-1}{x^3}e^{\frac{1}{x}}=(\frac{1}{x^2}-\frac{x-1}{x^3})e^{\frac{1}{x}}=(\frac{x}{x^3}-\frac{x-1}{x^3})e^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x^3}e^{\frac{1}{x}}\\\\f''(x)=0\\\frac{1}{x^3}e^{\frac{1}{x}}=0[/tex]
Brak miejsc zerowych drugiej pochodnej, czyli brak punktów przegięcia.
7. Przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji.
Sprawdźmy znak drugiej pochodnej.
[tex]f''(x) > 0\\\frac{1}{x^3}e^{\frac{1}{x}} > 0\ \text{ale}\ e^{\frac{1}{x}} > 0\\\frac{1}{x^3} > 0\\x^3 > 0\\x > 0\\x\in(0,+\infty)\\\\f''(x) < 0\\x\in(-\infty,0)[/tex]
Zatem funkcja jest
- wypukła dla [tex]x\in(0,+\infty)[/tex]
- wklęsła dla [tex]x\in(-\infty,0)[/tex]
8. Przebieg zmienności funkcji.
W załączeniu.
9. Wykres.
W załączeniu.
10. Zbiór wartości.
[tex]ZW_f=(-\infty,0)\cup < e,+\infty)[/tex]
