Odpowiedź:
[tex]P=182\frac{5}{6}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Na początek znajdźmy miejsca zerowe funkcji i narysujmy jej wykres, aby zorientować się, o pole jakiego obszaru chodzi.
[tex]y=x^2-x-6\\x^2-x-6=0\\\Delta=(-1)^2-4*1*(-6)=1+24=25\\\sqrt\Delta=5\\x_1=\frac{1-5}{2}=-2\\x_2=\frac{1+5}{2}=3[/tex]
Przedziałem, na którym liczymy pole, jest [-8,3].
Zobaczmy to na wykresie w załączeniu.
Z wykresu widać, że szukane pole obszaru trzeba podzielić na 2 części.
Pole pierwszej części:
[tex]x\in < -8,-2 > \\P_1=\int\limits^{-2}_{-8} {x^2-x-6} \, dx =\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x\right]^{-2}_{-8}=\left[\frac{1}{3}*(-2)^3-\frac{1}{2}*(-2)^2-6*(-2)\right]-\left[\frac{1}{3}*(-8)^3-\frac{1}{2}*(-8)^2-6*(-8)\right]=(-\frac{8}{3}-2+12)-(-\frac{512}{3}-32+48)=-2\frac{2}{3}+10+170\frac{2}{3}-16=162[/tex]Pole drugiej części:
[tex]x\in < -2,3 > \\P_2=\int\limits^{3}_{-2} {-x^2+x+6} \, dx =\left[-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+6x\right]^{3}_{-2}=[-\frac{1}{3}*3^3+\frac{1}{2}*3^2+6*3]-[-\frac{1}{3}*(-2)^3+\frac{1}{2}*(-2)^2+6*(-2)]=(-9+\frac{9}{2}+18)-(\frac{8}{3}+2-12)=9+4\frac{1}{2}+10-2\frac{2}{3}=19+4\frac{3}{6}-2\frac{4}{6}=20\frac{5}{6}[/tex]
Zatem łączne pole to
[tex]P=P_1+P_2=162+20\frac{5}{6}=182\frac{5}{6}[/tex]
