[tex]\log_\frac13 81 + \log_{81} \frac13=\log_\frac13 3^4 + \log_{81} 3^{-1}= \log_\frac13(\frac13)^{-4}+\log_{81} (3^{4\cdot\frac14})^{-1}=\\\\ = -4\log_\frac13\frac13+\log_{81} \left((3^4)^\frac14}\right)^{-1}= -4\cdot1+\log_{81} 81^{-\frac14}=-4+(-\frac14)=-4\frac14[/tex]
[tex]\log_4 4\sqrt8 - \log_{4\sqrt4}8=\\\\\\\log_4 4\sqrt8=x\quad\iff\quad 4^x=4\sqrt8\\\\(2^2)^x=2^2\cdot\big2^\frac32\\\\2^{2x} =\big2^\frac72 \\\\2x=\frac72\quad/:2\\\\x=\frac74=1\frac34\\\\\\\log_{4\sqrt4}8=\log_{4\cdot2}8=\log_88=1\\\\\\\log_4 4\sqrt8 - \log_{4\sqrt4}8=1\frac34-1=\frac34[/tex]
Ale sądzę, że miało być:
[tex]\log_4 4\sqrt8 - \log_{4\sqrt8}4=\\\\\\\log_4 4\sqrt8=x\quad\iff\quad 4^x=4\sqrt8\\\\(2^2)^x=2^2\cdot\big2^\frac32\\\\2^{2x} =\big2^\frac72 \\\\2x=\frac72\quad/:2\\\\x=\frac74=1\frac34\\\\\\\log_{4\sqrt8}4=y\quad\iff\quad (4\sqrt8)^y=4\\\\(2^2\cdot\big2^\frac32)^y=2^2\\\\ \big2^{\frac72y}=2^2\\\\ \frac72y=2\qquad/\cdot\frac27\\\\y=\frac47 \\\\\\ \log_44\sqrt8 - \log_{4\sqrt8}4 = \frac74-\frac47=\frac{49-16}{28}=\frac{33}{28}=1\frac{5}{28}[/tex]
[tex]\log_{25} \frac15 +\log_\frac15 25=\log_{25} 5^{-1} +\log_\frac15 5^2=\log_{25} (5^2)^{-\frac12} +\log_\frac15 (\frac15)^{-2}=\\\\=-\frac12\log_{25}25-2\log_\frac15\frac15=-\frac12-2=-2\frac12[/tex]
[tex]\log_5\sqrt{125}-\log_{\sqrt5}125=\log_5\big5^\frac32-\log_{\sqrt5}5^3= \frac32\log_5\big5-\log_{\sqrt5}((\sqrt5)^2)^3=\\\\=\frac32-\log_{\sqrt5}(\sqrt5)^6=1\frac12-6=-4\frac12[/tex]