Zadanie 1.
Skorzystamy z jedynki trygonometrycznej.
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\sin^2\alpha+(\frac{3}{5})^2=1\\\sin^2\alpha+\frac{9}{25}=1\\\sin^2\alpha=1-\frac{9}{25}\\\sin^2\alpha=\frac{16}{25}\\\sin\alpha=\frac{4}{5}\vee\sin\alpha=-\frac{4}{5}[/tex]
Ale kąt jest ostry, więc
[tex]\sin\alpha=\frac{4}{5}[/tex]
[tex]\text{tg}\ \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{5}*\frac{5}{3}=\frac{4}{3}[/tex]
Zadanie 2.
Skorzystamy z jedynki trygonometrycznej.
[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\(\frac{\sqrt2}{3})^2+\cos^2\alpha=1\\\frac{2}{9}+\cos^2\alpha=1\\\cos^2\alpha=1-\frac{2}{9}\\\cos^2\alpha=\frac{7}{9}\\\cos\alpha=\frac{\sqrt7}{3}\vee\cos\alpha=-\frac{\sqrt7}{3}[/tex]
Ale kąt jest rozwarty, więc
[tex]\cos\alpha=-\frac{\sqrt7}{3}[/tex]
[tex]\text{tg}\ \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{\sqrt2}{3}}{-\frac{\sqrt7}{3}}=\frac{\sqrt2}{3}*(-\frac{3}{\sqrt7})=-\frac{\sqrt2}{\sqrt7}*\frac{\sqrt7}{\sqrt7}=-\frac{\sqrt{14}}{7}[/tex]
Zadanie 3.
Podzielimy licznik i mianownik przez cosinus, aby otrzymać tangens.
[tex]\frac{2\sin\alpha+3\cos\alpha}{\cos\alpha+4\sin\alpha}=\frac{2\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+3\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}+4\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{2\text{tg}\alpha+3}{1+4\text{tg}\alpha}=\frac{2*\frac{1}{3}+3}{1+4*\frac{1}{3}}=\frac{3\frac{2}{3}}{2\frac{1}{3}}=\frac{11}{3}*\frac{3}{7}=\frac{11}{7}=1\frac{4}{7}[/tex]
Zadanie 4.
a)
Wykorzystamy wzory redukcyjne dla kątów ostrych:
[tex]\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha\\\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha[/tex]
Zatem
[tex]\sin27^\circ*\cos63^\circ+\cos27^\circ*\sin63^\circ=\sin27^\circ*\cos(90^\circ-27^\circ)+\cos27^\circ*\sin(90^\circ-27^\circ)=\sin27^\circ*\sin27^\circ+\cos27^\circ*\cos27^\circ=\sin^227^\circ+\cos^227^\circ=1[/tex]b)
Wykorzystamy wzór redukcyjny dla kątów ostrych:
[tex]\text{tg}\ (90^\circ-\alpha)=\text{ctg}\ \alpha[/tex]
Zatem
[tex]\text{tg}\ 48^\circ*\text{tg}\ 42^\circ=\text{tg}\ 48^\circ*\text{tg}\ (90^\circ-48^\circ)=\text{tg}\ 48^\circ*\text{ctg}\ 48^\circ=1[/tex]