Odpowiedź :
a) Długość krótszego boku jest równa 5.
b) Długość przekątnych to odpowiednio 10, [tex]10\sqrt{2}[/tex], a miara kąta ostrego między przekątnymi to 45 stopni.
Narysujmy rysunek pomocniczy (załącznik).
Z treści zadania mamy:
- długość dłuższego boku: [tex]5\sqrt{5}[/tex]
- cosinus kąta ostrego: [tex]\frac{\sqrt{5}}{5}[/tex]
- pole powierzchni równoległoboku 50.
Pole powierzchni równoległoboku możemy obliczyć korzystając ze wzoru:
[tex]P=a\cdot h=\frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha[/tex]
gdzie:
a - długość boku równoległoboku,
h- wysokość opuszczona na bok a,
[tex]d_1,d_2[/tex] - przekątne równoległoboku,
[tex]\alpha[/tex] - kąt między przekątnymi.
a)
Obliczamy wysokość równoległoboku korzystając z pola powierzchni.
[tex]50=5\sqrt{5}\cdot h[/tex]
[tex]h=\frac{50}{5\sqrt{5}}[/tex]
[tex]h=2\sqrt{5}[/tex]
Zapiszmy funkcję trygonometryczną, z której możemy obliczyć długość krótszego boku równoległoboku.
[tex]\sin\alpha=\frac{h}{b}[/tex]
[tex]b=\frac{h}{\sin\alpha}[/tex]
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej [tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex] i wyznaczamy sinus kąta ostrego.
[tex]\sin^2\alpha+\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2=1[/tex]
[tex]\sin^2\alpha+\frac{5}{25}=1[/tex]
[tex]\sin^2\alpha=\frac{20}{25}[/tex]
[tex]\sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex]
Obliczamy długość krótszego boku równoległoboku.
[tex]b=\frac{h}{\sin\alpha}=\frac{2\sqrt{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=5[/tex]
Wniosek: Długość krótszego boku jest równa 5.
b)
Przekątne równoległoboku możemy obliczyć korzystając ze wzoru:
[tex]d_{1,2}=\sqrt{a^2\pm2ab\cos\alpha+b^2}[/tex]
Obliczamy długości przekątnych:
[tex]d_{1}=\sqrt{a^2+2ab\cos\alpha+b^2}=\sqrt{(5\sqrt{5})^2+2\cdot5\sqrt{5}\cdot5\cdot\frac{\sqrt{5}}{5}+5^2}=\sqrt{125+50+25}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}[/tex]
[tex]d_{1}=\sqrt{a^2-2ab\cos\alpha+b^2}=\sqrt{(5\sqrt{5})^2-2\cdot5\sqrt{5}\cdot5\cdot\frac{\sqrt{5}}{5}+5^2}=\sqrt{125-50+25}=\sqrt{100}=10[/tex]
Obliczamy kąt między przekątnymi korzystając ze wzoru na pole powierzchni.
[tex]50=\frac{1}{2}\cdot10\cdot10\sqrt{2}\cdot\sin\beta[/tex]
[tex]50=50\sqrt{2}\cdot\sin\beta[/tex]
[tex]\sin\beta=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]\beta=45^\circ[/tex]
Wniosek: Długości przekątnych to odpowiednio 10, [tex]10\sqrt{2}[/tex], a kąt ostry między nimi ma miarę 45 stopni.
PODPUNKT A
Długość krótszego jest równa 5.
Dane:
a = 5√5 - długość dłuższego boku równoległoboku
cosα = 1/5 √5 - wartość cosinusa kąta ostrego tego równoległoboku
P = 50 - pole równoległoboku
Szukane:
długość krótszej krawędzi
Rozwiązanie:
Pierwszym krokiem będzie wyliczenie sinusa kąta ostrego korzystając ze wzoru na sumę kwadratów sinusa i cosinusa.
[tex]sin\alpha ^2+cos\alpha ^2=1\\sin\alpha ^2=1-cos\alpha ^2\\sin\alpha ^2=1-(\frac{1}{5}\sqrt{5} )^2\\sin\alpha ^2=1-\frac{1}{25} *5\\sin\alpha ^2=1-\frac{1}{5} \\sin\alpha ^2=\frac{4}{5} \\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5} } \\sin\alpha=\frac{2\sqrt{5} }{5}[/tex]
Teraz możemy obliczyć krótszy bok równoległoboku, który oznaczymy jako b, korzystając ze wzoru na pole równoległoboku.
[tex]P=a*b*sin\alpha \\b=\frac{P}{a*sin\alpha } \\b=\frac{50}{5\sqrt{5} *\frac{2\sqrt{5} }{5} } \\b=\frac{50}{\sqrt{5} *2\sqrt{5} } \\b=\frac{50}{10} \\b=5[/tex]
PODPUNKT B
Długość krótszej przekątnej jest równa 10, a dłuższej 10√2 oraz miara kąta ostrego pomiędzy tymi przekątnymi jest równa 45°.
Dane:
a = 5√5 - długość dłuższego boku równoległoboku
b = 5 - długość krótszego boku równoległoboku
cosα = 1/5 √5 - wartość cosinusa kąta ostrego tego równoległoboku
P = 50 - pole równoległoboku
Szukane:
długości przekątnych oraz miara kąta ostrego pomiędzy przekątnymi
Rozwiązanie:
Posiadając bok a i bok b oraz cosinusa kąta ostrego możemy z twierdzenia cosinusów obliczyć krótszą przekątną równoległoboku.
[tex]d_1^2=b^2+a^2-2*b*a*cos\alpha \\d_1^2=5^2+(5\sqrt{5} )^2-2*5*5\sqrt{5} *\frac{1}{5} \sqrt{5}\\ d_1^2=25+125-50\\d_1^2=100\\d_1=10[/tex]
Teraz należy obliczyć dłuższą przekątną korzystając z twierdzenia cosinusów.
[tex]d_2=\sqrt{a^2+2*a*b*cos\alpha +b^2} \\d_2=\sqrt{(5\sqrt{5}) ^2+2*5\sqrt{5} *5*\frac{1}{5}\sqrt{5} +5^2} \\d_2=\sqrt{125+50 +25}\\d_2=\sqrt{200}\\ d_2=10\sqrt{2}[/tex]
Ostatnim etapem będzie wyliczenie sinusa kąta ostrego pomiędzy przekątnymi, a następnie podanie jego miary. Do wykonania tego kroku skorzystamy ze wzoru na pole równoległoboku. Ten kąt oznaczymy sobie jako β.
[tex]P=\frac{1}{2}*d_1*d_2*sin\beta\\sin\beta =\frac{2P}{d_1*d_2} \\sin\beta =\frac{2*50}{10*10\sqrt{2} }\\sin\beta =\frac{100}{100\sqrt{2} } \\sin\beta =\frac{1}{\sqrt{2} }\\sin\beta =\frac{\sqrt{2} }{2}\\ \beta =45^o[/tex]
