Odpowiedź:
Proszę bardzo! ;)
Lewa strona nierówności jest sumą nieskończonego ciągu geometrycznego gdzie:
[tex]a_{1}=3x\\\\q=x-2[/tex]
Do nieskończonego ciągu geometrycznego musi być spełnione założenie:
|q|<1
Podstawmy zatem nasze q i rozwiążmy nierówność.
[tex]|x-2| < 1[/tex]
Rozłóżmy to sobie na dwa przypadki, gdyż mamy wartość bezwzględną.
1)
[tex]x-2 < 1\\\\x < 3[/tex]
2)
[tex]x-2 > -1\\\\x > 1[/tex]
Przedziałem tych dwóch nierówności będzie:
x∈(1;3)
Mamy [tex]a_{1}[/tex] i [tex]q[/tex] , więc skorzystajmy ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego:
[tex]S=\frac{a_{1} }{1-q} \\\\S=\frac{3x}{1-(x-2)}=\frac{3x}{1-x+2}=\frac{3x}{3-x}[/tex] , gdzie 3-x≠0 3≠x
D=R\{3}
Mamy rozwiązaną lewą stronę nierówności, więc teraz możemy rozwiązać całość!
[tex]\frac{3x}{3-x} < 2 \ \ \ /*(3-x)^2\\\\3x(3-x) < 2(3-x)^2\\\\9x-3x^2 < 2(9-6x+x^2)\\\\9x-3x^2 < 18-12x+2x^2\\\\0 < 2x^2+3x^2-12x-9x+18\\\\0 < 5x^2-21x+18\\\\\Delta=b^2-4ac\\\\\Delta=(-21)^2-4*5*18=441-360=81 \ \ /\sqrt{}\\\\\sqrt{\Delta}=9\\\\x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{21-9}{10}=\frac{12}{10}=\frac{6}{5} \\\\ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{21+9}{10}=\frac{30}{10}=3[/tex]
Po narysowaniu funkcji, nałożeniu na nią przedziału x∈(1;3) oraz założenia, że x≠3 otrzymujemy:
x∈([tex]1;\frac{6}{5}[/tex])
Nie wziąłeś/aś pod uwagę założenia, że x nie może być równe trzy i chyba cos ze znakami namieszałeś/aś, bo funkcja musi przyjmować wartości większe od zera, a nie mniejsze.
Szczegółowe wyjaśnienie:
