Odpowiedź:
a1 = √2/3,
a2 = a1q = (√2/3)q =√2/3 - √6/3 to (√2/3)q = √2/3 - √2√3/3 /:√2 to q/3 = 1/3 - √3/3 /• 3
to q = 1 - √3 to |1 - √3| < 1 to lim an → 0 i
lim sn = a1/(1 - q) = a1/(1 - q) = (√2/3)/√3 = (√2√3/3)/(√3√3)
n → ∞
[Mnożymy licznik i mianownik przez √3, usuwamy niewymierność z mianownika to
Suma wszystkich wyrazów
lim sn = (√6/3)/3 = √6/9
n → ∞
Szczegółowe wyjaśnienie:
W ciągu geometrycznym każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stały iloraz q, utworzymy kilka wyrazów ciągu:
a1 = a1
a2 = (a1)•q
a3 = (a1)•q•q = (a1)•q²
a4 = (a1)•q²•q = (a1)•q³
a5 = (a1)•q³•q = (a1)•q⁴, (- z tych kilku wyrazów ciągu można już
__________________ zauważyć zależność na ogólny wyraz ciągu):
an = (a1)•q^(n-1), an = a1 razy q do potęgi (n-1), a z tej zależności na an możemy sobie ułożyć jakieś równania (układ równań) czytając treść zadania:
a1 = √2/3,
a2 = a1q = (√2/3)q =√2/3 - √6/3 to (√2/3)q = √2/3 - √2√3/3 /:√2 to q/3 = 1/3 - √3/3 /• 3
to q = 1 - √3 to |1 - √3| < 1 to lim an → 0 i
lim sn = a1/(1 - q) = a1/(1 - q) = (√2/3)/√3 = (√2√3/3)/(√3√3)
n → ∞
[Mnożymy licznik i mianownik przez √3, usuwamy niewymierność z mianownika to
Suma wszystkich wyrazów
lim sn = (√6/3)/3 = √6/9
n → ∞
