Równia pochyła
1.
v ≈ 8,96 m/s
t ≈ 2,24 s
Dane:
s = 8 m
h = 4 m
T = 0,1 Q
Szukane:
v = ?
t = ?
Rozwiązanie:
Z danych, które posiadamy, możemy wywnioskować, że prędkość początkowa klocka była równa zero. Oznacza to, że jego całkowita energia będzie równa energii potencjalnej. Kiedy klocek zjedzie z równi, jego energia kinetyczna będzie maksymalna i równa początkowej energii całkowitej, ponieważ nie będzie się już znajdował na wysokości.
Korzystając z zasady zachowania energii, policzmy prędkość końcową klocka:
[tex]E_c = E_p_1 = mgh\\E_c = E_k_2 = \frac{mv^2 }{2} \\\\\frac{v^2 }{2} = gh == > v =\sqrt{2gh} \\v = \sqrt{80}\frac{m}{s} = 4\sqrt{5} \frac{m}{s}[/tex]
Wyliczmy siłę wypadkową działającą na ciało i przyspieszenie wypadkowe w płaszczyźnie równi:
[tex]F = Q sin\alpha - 0,1Q = Q (sin\alpha - 0,1)[/tex]
(sinα będzie równy wysokości dzielonej przez długość równi)
[tex]F = Q(\frac{h}{s} - 0,1) = 0,4Q\\ \\a = \frac{F}{m} = \frac{0,4Q}{m} = \frac{0,4mg}{m} = 0,4g = 4 \frac{m}{s^2}[/tex]
Następnie ze wzoru na prędkość, możemy policzyć czas zsuwania się klocka:
[tex]v = at\\t = \frac{v}{a} = \frac{4\sqrt{5} }{4} s = \sqrt{5} s[/tex]
2.
t ≈ 1,08 s
h = 0,8 m
Dane:
α = 30 °
v₀ = 4 m/s
f = 0,15
Szukane:
t = ?
h = ?
Rozwiązanie:
Ponownie skorzystajmy z zasady zachowania energii, aby obliczyć wysokość, na jaką dostanie się sportowiec:
[tex]E_c = \frac{mv^2}{2} = mgh\\ h = \frac{v^2}{2g} = 0,8 m\\[/tex]
Następnie policzmy wypadkową sił działających na sportowca w tym ruchu i wartość przyspieszenia, z jakim się poruszał:
[tex]F = -Qsin\alpha + Qcos\alpha f = -Q(sin\alpha -cos\alpha f)\\\\a = \frac{F}{m} = g(-sin\alpha +cos\alpha f) =- 3,7 \frac{m}{s^2}[/tex]
Wiedząc, że sportowiec zatrzyma się po zakończonym ruchu (prędkość będzie równa zero), możemy policzyć czas ze wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie zmiennym:
[tex]v = v_0 + at = 0\\v_0 = -at \\t = \frac{v_0}{-a} = 1,08 s[/tex]
3.
s ≈ 1,27 m
t ≈ 0,67 s
Dane:
α = 45 °
f = 0,2
v = 6 m/s
Szukane:
s = ?
t = ?
Rozwiązanie:
Z zasady zachowania energii policzmy wzór na wysokość, z której zjeżdża rowerzysta:
[tex]E_c = mgh = \frac{mv^2}{2} \\ h = \frac{v^2}{2g}[/tex]
Ze względu na to, że sinα jest równy wysokości dzielonej przez długość górki, możemy policzyć drogę, jaką pokona rowerzysta:
[tex]sin\alpha = \frac{h}{s} \\s = \frac{h}{sin\alpha } = \frac{v^2}{2gsin\alpha } = 1,27 m[/tex]
Policzmy wypadkową sił działających na rowerzystę w tym ruchu i wartość przyspieszenia, z jakim się poruszał:
[tex]F = Qsin\alpha - Qcos\alpha f = Q(sin\alpha - cos\alpha f)\\\\a = \frac{F}{m} = g(sin\alpha - cos\alpha f) = 5,66 \frac{m}{s^2}[/tex]
Korzystając ze wzoru na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym, policzmy czas:
[tex]s = \frac{at^2}{2}\\\\t = \sqrt{\frac{2s}{a} } = \frac{2}{3} s[/tex]
