Witaj :)
Mamy do obliczenia następującą granicę:
[tex]\[ \lim_{n \to + \infty} \frac{5+8+11+...+(3n+2)}{2n^2-3} \]\end[/tex]
Zauważamy, że w liczniku mamy sumę nieskończonego ciągu arytmetycznego. Pierwsze co wykonamy, to zapiszemy tę sumę w innej postaci. Wzór na sumę n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wygląda następująco:
[tex]\Large \boxed{S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n}[/tex]
Zapiszmy dane:
[tex]a_1=5\\a_n=3n+2\\n=a_n=3n+2[/tex]
Podstawmy pod wzór:
[tex]S_{3n+2}=\frac{5+3n+2}{2}\cdot (3n+2)\\ \\S_{3n+2}=\frac{(3n+7)(3n+2)}{2}=\frac{9n^2+6n+21n+14}{2}=\frac{9n^2+27n+14}{2}[/tex]
Teraz nasza granica będzie wyglądać następująco:
[tex]\[ \lim_{n \to + \infty} \frac{\frac{9n^2+27n+14}{2} }{2n^2-3} \]=\lim_{n \to +\infty}\frac{9n^2+27n+14}{2(2n^2-3)} =\lim _{n \to +\infty }\frac{9n^2+27n+14}{4n^2-6}[/tex]
Więc:
[tex]\lim_{n \to + \infty} \frac{5+8+11+...+(3n+2)}{2n^2-3} = \lim_{n \to +\infty}\frac{9n^2+27n+14}{4n^2-6}[/tex]
Teraz będziemy liczyć granicę naszego wyrażenia. Wyciągamy przed nawias w liczniku i mianowniku ułamka "n" w najwyższej potędze mianownika, a zatem "n²":
[tex]\lim_{n \to +\infty}\frac{9n^2+27n+14}{4n^2-6}= \lim_{n \to +\infty}\frac{n^2(9+\frac{27}{n} +\frac{14}{n^2}) }{n^2(4-\frac{6}{n^2} )}=\lim_{n \to +\infty}\frac{9+\frac{27}{n} +\frac{14}{n^2} }{4-\frac{6}{n^2} }[/tex]
Przeanalizujmy teraz do czego dąży licznik, jak i mianownik:
Gdy n→+∞, to:
[tex]9\rightarrow 9\\\\\frac{27}{n}\rightarrow 0\\ \\\frac{14}{n^2} \rightarrow 0[/tex]
[tex]4\rightarrow 4\\\\\frac{6}{n^2}\rightarrow 0[/tex]
Możemy zatem zapisać, że:
[tex]\lim_{n \to +\infty}\frac{9+\frac{27}{n} +\frac{14}{n^2} }{4-\frac{6}{n^2} }=[\frac{9+0+0}{4-0}]=\frac{9}{4}[/tex]
Podsumowując:
[tex]\Large \boxed{\lim_{n \to + \infty} \frac{5+8+11+...+(3n+2)}{2n^2-3}= \frac{9}{4} }[/tex]
