Firma meblowa produkuje takie stoły jak ukazano na zdjęciu.Wykonaj polecenia.
a) Oblicz pole powierzchni blatu stołu jeżeli ma on kształt pięciokąta foremnego.
b)Wyznacz łączną długość wszystkich elementów użytych do wykonania stelażu stołu.
c) Oszacuj koszt materiałów do wykonania tego stołu jeżeli zapłacimy 220 zł za 1m2 szkła oraz 50 zł za 1 m.b rury ze stali.W obliczeniach pomiń koszt odpadów.
Pole powierzchni pięciokąta foremnego, suma długości krawędzi graniastosłupa.
(a)
Wzór na pole powierzchni pięciokąta foremnego jest postaci: [tex]P_p = \frac{\sqrt{25+10\sqrt5}}{4}a^2 = \{a=80[cm]=0,8[m]\} =\\= \frac{\sqrt{25+10\sqrt5}}{4} 0,64 =0,16 \sqrt{25+10\sqrt5} \approx 1,1011 [m^2][/tex]
(b)
Z własności trójkąta (30,60,90) - na rysunku poniżej - wiemy, że "skośno-pionowa krawędź boczna" ma długość: [tex]l = 2* \frac{60}{\sqrt3} = 40 \sqrt 3 [cm] = 0,4 \cdot \sqrt 3 [m][/tex]
By obliczyć długość krawędzi podstawy dolnej skorzystamy, z faktu, że promień okręgu opisanego na pięciokącie foremnym jest równy: [tex]R = a \frac{\sqrt{50+10\sqrt5}}{10}[/tex]
Zaś znów z trójkąta (30,60,90) wiemy, że różnica długości promieni opisanych na górnej podstawie i dolnej podstawie graniastosłupa jest równa: [tex]R-r = 0,2\cdot\sqrt3[m] = (x_g - x_d) * \frac{\sqrt{50+10\sqrt5}}{10} = (0,8 - x) \frac{\sqrt{50+10\sqrt5}}{10}[/tex] co daje nam równanie: [tex]2\sqrt3 = (0,8-x)\sqrt{50+10\sqrt5}\\x=0,8 - \frac{2\sqrt3}{\sqrt{50+10\sqrt5}}\\x= 0,8 - \frac{2\sqrt3\sqrt{50+10\sqrt5}}{50+10\sqrt5}\\x= 0,8 - \frac{2\sqrt{150+30\sqrt5}(50-10\sqrt5)}{2500-500}\\x= 0,8 - \frac{20\sqrt{150+30\sqrt5}(5-\sqrt5)}{2000}\\x= 0,8 - \frac{\sqrt{150+30\sqrt5}(5-\sqrt5)}{100}\\[/tex]
Stąd łączna długość krawędzi stelażu jest równa: [tex]L = 5*(0,8 + 0,4*\sqrt3+0,8 - \frac{\sqrt{150+30\sqrt5}(5-\sqrt5)}{100}) =\\= 8 + 2\sqrt3 - \frac{\sqrt{150+30\sqrt5}(5-\sqrt5)}{100} \approx 11,0569 [m][/tex]
(c)
Koszt materiałów liczymy wprost z danych z poprzednich podpunktów i treści zadania: [tex]1,1011 * 220 + 11,0569*50 \approx795,09 [zl][/tex]
Wzory na promień okręgu opisanego na dowolnym wielokącie foremnym oraz jego pole powierzchni można zawsze wyznaczyć korzystając z:
podziału wielokąta na trójkąty - znamy miary jego kątów i długości niektórych boków tych trójkątów;
następnie korzystając z twierdzenia cosinusów (uogólnione twierdzenie Pitagorasa): [tex]c^2 = a^2 +b^2 - 2ab \cos \angle (a,b)[/tex] możemy wyznaczyć długości wszystkich boków dla wszystkich trójkątów;
finalnie korzystając ze wzoru łączącego "połowę obwodu" trójkąta z jego polem powierzchni: [tex]P_\Delta = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex] dostaniemy po zsumowaniu po wszystkich trójkątach całkowite pole powierzchni n-kąta.
