Pole powierzchni pięciokąta foremnego, suma długości krawędzi graniastosłupa.
(a)
- Wzór na pole powierzchni pięciokąta foremnego jest postaci:
[tex]P_p = \frac{\sqrt{25+10\sqrt5}}{4}a^2 = \{a=80[cm]=0,8[m]\} =\\= \frac{\sqrt{25+10\sqrt5}}{4} 0,64 =0,16 \sqrt{25+10\sqrt5} \approx 1,1011 [m^2][/tex]
(b)
- Z własności trójkąta (30,60,90) - na rysunku poniżej - wiemy, że "skośno-pionowa krawędź boczna" ma długość:
[tex]l = 2* \frac{60}{\sqrt3} = 40 \sqrt 3 [cm] = 0,4 \cdot \sqrt 3 [m][/tex] - By obliczyć długość krawędzi podstawy dolnej skorzystamy, z faktu, że promień okręgu opisanego na pięciokącie foremnym jest równy:
[tex]R = a \frac{\sqrt{50+10\sqrt5}}{10}[/tex] - Zaś znów z trójkąta (30,60,90) wiemy, że różnica długości promieni opisanych na górnej podstawie i dolnej podstawie graniastosłupa jest równa:
[tex]R-r = 0,2\cdot\sqrt3[m] = (x_g - x_d) * \frac{\sqrt{50+10\sqrt5}}{10} = (0,8 - x) \frac{\sqrt{50+10\sqrt5}}{10}[/tex]
co daje nam równanie:
[tex]2\sqrt3 = (0,8-x)\sqrt{50+10\sqrt5}\\x=0,8 - \frac{2\sqrt3}{\sqrt{50+10\sqrt5}}\\x= 0,8 - \frac{2\sqrt3\sqrt{50+10\sqrt5}}{50+10\sqrt5}\\x= 0,8 - \frac{2\sqrt{150+30\sqrt5}(50-10\sqrt5)}{2500-500}\\x= 0,8 - \frac{20\sqrt{150+30\sqrt5}(5-\sqrt5)}{2000}\\x= 0,8 - \frac{\sqrt{150+30\sqrt5}(5-\sqrt5)}{100}\\[/tex] - Stąd łączna długość krawędzi stelażu jest równa:
[tex]L = 5*(0,8 + 0,4*\sqrt3+0,8 - \frac{\sqrt{150+30\sqrt5}(5-\sqrt5)}{100}) =\\= 8 + 2\sqrt3 - \frac{\sqrt{150+30\sqrt5}(5-\sqrt5)}{100} \approx 11,0569 [m][/tex]
(c)
- Koszt materiałów liczymy wprost z danych z poprzednich podpunktów i treści zadania:
[tex]1,1011 * 220 + 11,0569*50 \approx795,09 [zl][/tex]
Wzory na promień okręgu opisanego na dowolnym wielokącie foremnym oraz jego pole powierzchni można zawsze wyznaczyć korzystając z:
- podziału wielokąta na trójkąty - znamy miary jego kątów i długości niektórych boków tych trójkątów;
- następnie korzystając z twierdzenia cosinusów (uogólnione twierdzenie Pitagorasa):
[tex]c^2 = a^2 +b^2 - 2ab \cos \angle (a,b)[/tex]
możemy wyznaczyć długości wszystkich boków dla wszystkich trójkątów; - finalnie korzystając ze wzoru łączącego "połowę obwodu" trójkąta z jego polem powierzchni:
[tex]P_\Delta = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]
dostaniemy po zsumowaniu po wszystkich trójkątach całkowite pole powierzchni n-kąta.
