Odpowiedź:
[tex]f_{min}=4\ \text{dla}\ x=-1\\f\nearrow: (-1,0),\ (0,+\infty)\\f\searrow:(-\infty,-2),\ (-2,-1)[/tex]
Uwaga: Chcąc podać maksymalne przedziały monotoniczności, podane wyżej przedziały można domknąć w -1.
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]f(x)=\frac{x^2+2x-3}{x^2+2x}[/tex]
Założenie:
[tex]x^2+2x\neq 0\\x(x+2)\neq 0\\x\neq 0\land x+2\neq 0\\x\neq 0\land x\neq -2\\D_f=\mathbb{R}-\{-2,0\}[/tex]
Policzmy pochodną funkcji.
[tex]f'(x)=\left(\frac{x^2+2x-3}{x^2+2x}\right)'=\frac{(x^2+2x-3)'*(x^2+2x)-(x^2+2x-3)*(x^2+2x)^'}{(x^2+2x)^2}=\\=\frac{(2x+2)*(x^2+2x)-(x^2+2x-3)*(2x+2)}{(x^2+2x)^2}=\frac{(2x+2)(x^2+2x-x^2-2x+3)}{(x^2+2x)^2}=\frac{3(2x+2)}{(x^2+2x)^2}=\frac{6(x+1)}{(x^2+2x)^2}[/tex]Policzmy miejsca zerowe pochodnej, aby znaleźć argumenty, w których mogą być ekstrema.
[tex]f'(x)=0\\\frac{6(x+1)}{(x^2+2x)^2}=0\ |*(x^2+2x)^2\\6(x+1)=0\\x+1=0\\x=-1[/tex]
Sprawdźmy, czy w [tex]x=-1[/tex] jest ekstremum. W tym celu znajdźmy przedziały, w których pochodna jest dodatnia i ujemna.
[tex]f'(x) > 0\\\frac{6(x+1)}{(x^2+2x)^2} > 0\ |*(x^2+2x)^2\qquad\text{bo}\ (x^2+2x)^2 > 0\\6(x+1) > 0\\x+1 > 0\\x > -1\qquad\text{ale}\ x\in D_f\\x\in(-1,0)\cup(0,+\infty)\\f'(x) < 0\\x < -1\qquad\text{ale}\ x\in D_f\\x\in(-\infty,-2)\cup(-2,-1)[/tex]
Zatem pochodna w [tex]x=-1[/tex] zmienia znak z ujemnego na dodatni, czyli w jest minimum lokalne wynoszące
[tex]f(-1)=\frac{(-1)^2+2*(-1)-3}{(-1)^2+2*(-1)}=\frac{1-2-3}{1-2}=\frac{-4}{-1}=4[/tex]
Pozostały jeszcze przedziały monotoniczności funkcji. Funkcja jest rosnąca tam, gdzie pochodna jest dodatnia, a malejąca tam, gdzie pochodna jest ujemna. Zatem
[tex]f\nearrow: (-1,0),\ (0,+\infty)\\f\searrow:(-\infty,-2),\ (-2,-1)[/tex]
