Odpowiedź:
[tex]$D_{f}:x \in \Big \langle -\frac{1}{2} ,\frac{1}{2} \Big \rangle[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Funkcja [tex]\arccos x[/tex] jest funkcją odwrotną do funkcji [tex]\cos x[/tex]. Zatem jeżeli zbiorem wartości funkcji cosinus jest przedział [tex]\langle -1,1\rangle[/tex], to argumenty funkcji odwrotnej muszą się znajdować w tym przedziale.
Zatem mamy:
[tex]$f(x)=\arccos \Big(x^{2}+\frac{3}{4} \Big)[/tex]
[tex]$D_{f}:-1 \leq x^{2}+\frac{3}{4} \leq 1\\[/tex]
Pozostaje rozwiązać tę nierówność. Zauważmy, że wyrażenie [tex]$x^{2}+\frac{3}{4}[/tex] jest zawsze dodatnie, wobec tego pierwszą część (lewa strona) możemy pominąć, bo jest zawsze prawdziwa. Rozwiązujemy drugą część (prawa strona):
[tex]$x^{2}+\frac{3}{4} \leq 1 \iff x^{2}- \frac{1}{4}\leq 0 \iff \Big(x-\frac{1}{2} \Big)\Big(x+\frac{1}{2} \Big)\leq 0[/tex]
Ramiona paraboli są skierowane w górę, zatem rozwiązaniem jest:
[tex]$D_{f}:x \in \Big \langle -\frac{1}{2} ,\frac{1}{2} \Big \rangle[/tex]
