Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{\beta=135^o}\\\boxed{P=36\sqrt2}\\\boxed{L=24\sqrt2}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Patrz rysunek.
Wiemy, że suma miar katów przy jednym boku rombu wynosi 180°.
Stąd kąt rozwarty ma miarę:
180° - 45° = 135°
Obliczymy teraz długość boku równoległoboku korzystając z zależności miarowych miedzy bokami w równoramiennym trójkącie prostokątnym (załącznik 2).
[tex]a=6\sqrt2[/tex]
Krótsza przekątna dzieli romb na dwa przystające trójkąty równoramienne o kącie przy ramionach o mierze 45°.
Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta:
[tex]P_\triangle=\dfrac{1}{2}bc\sin\alpha[/tex]
stąd wzór na pole rombu to:
[tex]P=2\cdot P_\triangle=2\cdot\dfrac{1}{2}bc\sin\alpha=bc\sin\alpha[/tex]
Podstawiamy:
[tex]b=c=6\sqrt2,\ \alpha=45^o[/tex]
[tex]P=6\sqrt2\cdot6\sqrt2\cdot\sin45^o=36\cdot2\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=36\sqrt2[/tex]
Oczywiście pole rombu możemy policzyć jak pole równoległoboku:
[tex]P=a\cdot h[/tex]
Podstawiamy:
[tex]a=6\sqrt2,\ h=6:\\\\P=6\sqrt2\cdot6=36\sqrt2[/tex]
Obwód rombu:
[tex]L=4a\to L=4\cdot6\sqrt2=24\sqrt2[/tex]
