Odpowiedź:
[tex]f_{min}=-\frac{1}{2}\\f_{max}=0[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]D_f=\mathbb{R}\ \ \text{bo}\ x^2+3 > 0[/tex]
Policzmy pochodną funkcji.
[tex]f'(x)=\left(\frac{x^2-3x}{x^2+3}\right)'=\frac{(x^2-3x)'*(x^2+3)-(x^2-3x)*(x^2+3)'}{(x^2+3)^2}=\frac{(2x-3)*(x^2+3)-(x^2-3x)*2x}{(x^2+3)^2}=\\=\frac{2x^3+6x-3x^2-9-2x^3+6x^2}{(x^2+3)^2}=\frac{3x^2+6x-9}{(x^2+3)^2}[/tex]Policzmy miejsca zerowe pochodnej, aby znaleźć argumenty, w których mogą być ekstrema.
[tex]f'(x)=0\\\frac{3x^2+6x-9}{(x^2+3)^2}=0\ |*(x^2+3)^2\\3x^2+6x-9=0\ |:3\\x^2+2x-3=0\\\Delta=2^2-4*1*(-3)=4+12=16\\\sqrt\Delta=4\\x_1=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}=-3\\x_2=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1[/tex]
Zauważmy, że
[tex]x_1=-3\notin < 0,3 > \\x_2=1\in < 0,3 >[/tex]
Dlatego nie ma potrzeby rozważać [tex]x_1[/tex].
Sprawdźmy, czy w [tex]x=1[/tex] jest ekstremum.
[tex]f'(x) > 0\\\frac{3x^2+6x-9}{(x^2+3)^2} > 0\ |*(x^2+3)^2\\3x^2+6x-9 > 0\ |:3\\x^2+2x-3 > 0\\(x+3)(x-1) > 0\\x\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)\\f'(x) < 0\\x\in(-3,1)[/tex]
Zatem pochodnia w [tex]x=1[/tex] zmienia znak z ujemnego na dodatni, czyli w [tex]x=1[/tex] jest minimum lokalne wynoszące
[tex]f(1)=\frac{1^2-3*1}{1^2+3}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}[/tex]
Policzmy jeszcze wartości funkcji na krańcach przedziału.
[tex]f(0)=\frac{0^2-3*0}{0^2+3}=\frac{0}{3}=0\\f(3)=\frac{3^2-3*3}{3^2+3}=\frac{0}{12}=0[/tex]
Wartości najmniejszą i największą funkcji w zadanym przedziale wybieram spośród [tex]f(1)[/tex], [tex]f(0)[/tex] i [tex]f(3).[/tex]
Zatem
[tex]f_{min}=-\frac{1}{2}\\f_{max}=0[/tex]
