Rozwiązanie:
Nierówność:
[tex]x(x-y)\geq y(1-y)+x-1[/tex]
Przekształcamy:
[tex]x^{2}-xy\geq y-y^{2}+x-1[/tex]
[tex]x^{2}+y^{2}-xy-x-y+1\geq 0[/tex]
[tex]x^{2}-x(y+1)+y^{2}-y+1\geq 0[/tex]
Potraktujmy to jako trójmian kwadratowy o zmiennej [tex]x[/tex]. Wtedy:
[tex]\Delta_{x}=[-(y+1)]^{2}-4 \cdot 1 \cdot (y^{2}-y+1)=y^{2}+2y+1-4y^{2}+4y-4=-3y^{2}+6y-3=[/tex]
[tex]$=-3(y-1)^{2}[/tex]
Teraz zauważmy, że [tex]\Delta_{x}\leq 0[/tex] dla każdego [tex]y \in \mathbb{R}[/tex]. Ponadto ramiona paraboli są skierowane w górę, bo [tex]a=1 > 0[/tex]. To oznacza, że funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych (parabola jest nad osią [tex]OX[/tex] lub styka się z nią), co kończy dowód.
