Funkcja kwadratowa [tex]ax^2+bx+c[/tex] i jej własności.
Delta: [tex]\Delta=b^2-4ac[/tex]
Miejsca zerowe: [tex]x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta} }{2a}[/tex]
Szkice w załączniku.
e)
[tex]\Delta=49-4\cdot2\cdot(-15)=49+120=169\\\sqrt{\Delta} =13\\x_1=\frac{-7-13}{4}=-5\\ x_2=\frac{-7+13}{4}=\frac{3}{2}=1,5[/tex]
Rozwiązaniem nierówności [tex]2x^2+7x-15 < 0[/tex] jest [tex]x\in(-5;-1,5)[/tex] ponieważ tam funkcja przyjmuje wartości <0..
f)
[tex]\Delta=25-4\cdot2\cdot3=1\\\sqrt{\Delta}=1\\x_1=\frac{5-1}{4}=1\\ x_2=\frac{5+1}{4}=\frac{3}{2}=1,5[/tex]
Rozwiązaniem nierówności [tex]2x^2-5x+3\geq0[/tex] jest [tex]x\in(-\infty,1 \rangle\cup\langle1,5;+\infty)[/tex] ponieważ tam funkcja przyjmuje wartości [tex]\geq0[/tex].
g)
[tex]\Delta=1-4\cdot1\cdot5=-19[/tex]
Brak miejsc zerowych.
Rozwiązaniem nierówności [tex]x^2+x+5 < 0[/tex] jest zbiór pusty, ponieważ wszystkie wartości funkcji są dodatnie, nic nie jest ujemne.
h)
[tex]\Delta=100-4\cdot1\cdot25=0[/tex]
[tex]x_0=\frac{10}{2}=5[/tex]
Rozwiązaniem nierówności [tex]x^2-10x+25\geq0[/tex] jest zbiór liczb rzeczywistych, ponieważ funkcja wszędzie przyjmuje wartości [tex]\geq0[/tex].
i)
[tex]\Delta=16-4\cdot(-1)\cdot8=48\\\sqrt{\Delta} =\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3} =4\sqrt{3}[/tex]
[tex]x_1=\frac{4-4\sqrt{3} }{-2}=-2+2\sqrt{3} \\x_2=\frac{4+4\sqrt{3} }{-2}=-2-2\sqrt{3}[/tex]
Rozwiązaniem nierówności [tex]-x^2-4x+8 > 0[/tex]
jest [tex]x\in(-2-2\sqrt{3},-2+2\sqrt{3})[/tex].
j)
[tex]\Delta=25-4\cdot2\cdot(-12)=25+96=121\\\sqrt{\Delta}=11\\ x_1=\frac{5-11}{4}=-\frac{3}{2}=-1,5\\ x_2=\frac{5+11}{4}=4[/tex]
Rozwiązaniem nierówności [tex]2x^2-5x-12 < 0[/tex] jest [tex]x\in(-1,5;4)[/tex].
k)
[tex]\Delta=25-4\cdot2\cdot7=25-56=-31 < 0[/tex]
Brak miejsc zerowych.
Rozwiązaniem nierówności [tex]2x^2+5x+7\geq0[/tex] jest zbiór liczb rzeczywistych.
l)
[tex]\Delta=9-4\cdot1\cdot5=-11 < 0[/tex]
Brak miejsc zerowych.
Rozwiązaniem nierówności [tex]x^2+3x+5 > 0[/tex] jest zbiór liczb rzeczywistych.
m)
[tex]\Delta=64-4\cdot1\cdot16=0\\x_0=\frac{8}{2}=4[/tex]
Rozwiązaniem nierówności [tex]x^2-8x+16\geq0[/tex] jest zbiór liczb rzeczywistych.
n)
[tex]\Delta=4-4\cdot(-1)\cdot5=4+20=24\\\sqrt{\Delta} =\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6} =2\sqrt{6}[/tex]
[tex]x_1=\frac{2-2\sqrt{6} }{-2}=-1+\sqrt{6} \\ x_2=\frac{2+2\sqrt{6} }{-2}=-1-\sqrt{6}[/tex]
Rozwiązaniem nierówności [tex]-x^2-2x+5 > 0[/tex] jest
[tex]x\in(-1-\sqrt{6},-1+\sqrt{6})[/tex].
