Korzystamy z twierdzenia cosinusów:
a² = b² + c² - 2bc·cosα
gdzie b i c to boki będące ramionami kąta α, a bok a jest bokiem leżącym naprzeciw tego kąta
Skoro szukanym kątem jest ∡ABC, to bokiem naprzeciw kąta jest bok |AC|.
Zatem mamy:
|AC|² = |AB|² + |BC|² - 2|AB||BC|·cos|∡ABC|
b)
[tex]\left(\sqrt{8+2\sqrt2}\right)^2=(\sqrt3-1)^2+(\sqrt3+1)^2-2(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)\cos|\angle ABC|\\\\8+2\sqrt2=3-2\sqrt3+1+3+2\sqrt3+1-2(3-1)\cos|\angle ABC| \\\\8+2\sqrt2=8-4\cos|\angle ABC|\\\\-4\cos|\angle ABC|=2\sqrt2\qquad/:4 \\\\-\cos|\angle ABC|=\frac{\sqrt2}2[/tex]
Ze wzoru redukcyjnego {cos(180°-α)=-cosα} mamy:
[tex]\cos\left(180^o-|\angle ABC|\right)= \frac{\sqrt2}2 \quad\implies\quad 180^o-|\angle ABC|=45^o\\\\{}\qquad \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad-|\angle ABC|=-135^o\\\\{}\qquad \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad |\angle ABC|=135^o[/tex]
a)
[tex]\left(\sqrt{8-2\sqrt2}\right)^2=(\sqrt3-1)^2+(\sqrt3+1)^2-2(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)\cos|\angle ABC|\\\\8-2\sqrt2=3-2\sqrt3+1+3+2\sqrt3+1-2(3-1)\cos|\angle ABC| \\\\8-2\sqrt2=8-4\cos|\angle ABC|\\\\4\cos|\angle ABC|=2\sqrt2\qquad/:4 \\\\\cos|\angle ABC|=\frac{\sqrt2}2\quad\implies\quad |\angle ABC|=45^o[/tex]
