Witaj :)
Mamy za zadanie zamienić postać ogólną funkcji kwadratowej na postać iloczynową.
Trójmian kwadratowy zapisany w postaci ogólnej wygląda następująco:
[tex]\Large \boxed{y=ax^2+bx+c, \ gdzie:\ a,b,c\in \mathbb R\ \wedge\ a\neq 0}[/tex]
To, jak będzie wyglądać postać iloczynowa danego trójmianu kwadratowego jest zależne od tego wyróżnika trójmianu kwadratowego. Wzór na wyróżnik (deltę) wygląda następująco:
[tex]\Large \boxed{\Delta = b^2-4ac}[/tex]
Postać kanoniczna w zależności od wyznacznika trójmianu kwadratowego ma następujące postacie:
Jeżeli wyróżnik trójmianu kwadratowego ma wartość większą od 0, wówczas mamy dwa miejsca zerowe (x₁ oraz x₂) w zbiorze liczb rzeczywistych, i postać iloczynowa wygląda następująco:
[tex]\Large \boxed{y=a(x-x_1)(x-x_2)}[/tex]
Jeżeli wyróżnik trójmianu kwadratowego ma wartość równą 0, wówczas funkcja posiada jedno miejsce zerowe w zbiorze liczb rzeczywistych (podwójny pierwiastek), a postać iloczynowa wygląda następująco:
[tex]\Large \boxed{y=a(x-x_0)^2}[/tex]
Jeżeli wyróżnik trójmianu kwadratowego ma wartość ujemną (mniejszą od 0), wówczas funkcja taka nie posiada miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych, a co za tym idzie - nie można jej zapisać w postaci iloczynowej!!
Przejdźmy teraz do rozwiązania przykładów:
Przykład a
[tex]y=-4x^2+3x+1\\\\a=-4\\b=3\\c=1\\\\\Delta = b^2-4ac=3^2-4\cdot (-4)\cdot 1=9+16=2 > 0\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{25}=5\\\\x_1= \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{-3-5}{2\cdot(-4)}=\frac{-8}{-8}=1\\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} =\frac{-3+5}{2\cdot(-4)}=\frac{2}{-8}=-\frac{1}{4}[/tex]
Postać iloczynowa tej funkcji wygląda następująco:
[tex]\Large \boxed{y=-4\Big(x-1\Big)\Big(x+\frac{1}{4}\Big) }[/tex]
Podpunkt b
[tex]y=2x^2-3x+4\\\\a=2\\b=-3\\c=4\\\\\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 4=9-32=-23 < 0[/tex]
Ponieważ wyróżnik trójmianu kwadratowego jest mniejszy od 0, funkcji nie da się zapisać w postaci iloczynowej.
Podpunkt c
[tex]y=x^2-2x-2\\\\a=1\\b=-2\\c=-2\\\\\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-2)=4+8=12 > 0\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}\\\\x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-2)-2\sqrt{3}}{2\cdot1 } =\frac{2-\sqrt{3}}{2}=1-\sqrt{3} \\x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-2)+2\sqrt{3}}{2\cdot1 } =\frac{2+\sqrt{3}}{2}=1+\sqrt{3}[/tex]
Postać iloczynowa tej funkcji wygląda następująco:
[tex]\Large \boxed{y=(x-1+\sqrt{3})(x-1-\sqrt{3})}[/tex]
Podpunkt d
[tex]y=2x^2-2x-1\\\\a=2\\b=-2\\c=-1\\\\\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot2\cdot (-1)=4+8=12 > 0\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}\\\\x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-2)-2\sqrt{3}}{2\cdot2}=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}=\frac{1-\sqrt{3}}{2} \\x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-2)+2\sqrt{3}}{2\cdot2}=\frac{2+2\sqrt{3}}{4}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}[/tex]
Postać iloczynowa tej funkcji wygląda następująco:
[tex]\Large \boxed{y=2\Big(x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}\Big )\Big(x-\frac{1+\sqrt{3}}{2}\Big)}[/tex]
