Odpowiedź :
Sinus większego z kątów ostrych tego trójkąta wynosi [tex]\frac{3\sqrt{13}}{13}[/tex], a tangens tego kąta jest równy [tex]\frac{3}{2}[/tex].
Twierdzenie Pitagorasa
Twierdzenie Pitagorasa wykorzystujemy w trójkącie prostokątnym do obliczenia długości trzeciego boku, jeśli znamy długości dwóch pozostałych. Jego treść mówi nam, że jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przyprostokątnej.
Jeśli długości przyprostokątnych oznaczymy jako [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex], a długość przeciwprostokątnej jako [tex]c[/tex], to treść tego twierdzenia możemy zapisać w formie równania:
[tex]a^2+b^2=c^2[/tex].
Kąty w trójkącie
W każdym trójkącie kąt o największej mierze leży naprzeciw najdłuższego boku, kąt o mierze najmniejszej - naprzeciw najkrótszego boku, a kąt o mierze pomiędzy nimi - naprzeciw boku o mierze pośredniej.
W zadaniu mamy dane:
- długość najkrótszego boku, czyli krótszej przyprostokątnej - [tex]6cm[/tex],
- długość najdłuższego boku, czyli przeciwprostokątnej - [tex]3\sqrt{13}cm[/tex].
Kąt, którego funkcji trygonometrycznych szukamy, nie jest ani największy, ani najmniejszy w tym trójkącie, zatem leży naprzeciw dłuższej przyprostokątnej, której długości nie znamy. Wyznaczymy ją, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Oznaczmy jej długość jako [tex]x[/tex]:
[tex]6^2+x^2=(3\sqrt{13})^2\\36+x^2=117\\x^2=117-36\\x^2=81\\x=\sqrt{81}=9[/tex]
Zatem dłuższa przyprostokątna tego trójkąta ma długość [tex]9cm[/tex].
Wyznaczymy teraz sinus i tangens większego z kątów ostrych tego trójkąta. Na potrzeby zapisu obliczeń oznaczmy go jako [tex]\alpha[/tex].
Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości naprzeciw niego do długości przeciwprostokątnej.
Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości boku naprzeciw niego do długości przyprostokątnej obok tego kąta.
Zgodnie z powyższym mamy:
[tex]\sin{\alpha}=\frac{9}{3\sqrt{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}[/tex]
[tex]\tan{\alpha}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}[/tex]
