1.
Wzór opisujący prędkość jest funkcją kwadratową o ujemnym współczynniku przy x² (a<0).
Funkcja kwadratowa o a<0 przyjmuje wartość największą (q) na wierzchołku, czyli dla argumentu p.
[tex]v (t)= 12t - 0,4t^2\quad\implies\quad a=-0,4\,,\quad b=12\\\\p=\frac{-b}{2a}=\frac{-12}{2(-0,4)}=\frac{12}{0,8}=\frac{120}8=15\\\\q=v(p)=12\cdot15-0,4\cdot15^2=180-0,4\cdot225=180-90=90[/tex]
Odp.: Największą prędkość, wynoszącą 90 km/h, obiekt osiągnie po 15 sekundach od rozpoczęcia ruchu.
2.
a₀ = 4 cm, b₀ = 6 cm, c₀ = 9 cm {początkowe wymiary}
V₀ = 4·6·9 = 216 cm³ {początkowa objętość}
x - liczba centymetrów o jaką zwiększono każdy z wymiarów
a = (4 + x) cm
b = (6 + x) cm
c = (9 + x) cm
V = (4 + x)(6 + x)(9 + x) = 216 + 540
(4 + x)(6 + x)(9 + x) = 756
(24 + 10x + x²)(9 + x) = 756
216 + 24x + 90x + 10x² + 9x² + x³ = 756
x³ + 19x² + 114x - 540 = 0
Pierwiastki całkowite wielomianu (jeśli istnieją) są dzielnikami wyrazu wolnego. {Co prawda dzielników liczby -540 jest dużo, ale oceniając po współczynnikach wielomianu możemy przyjąć, że będą to liczby dodatnie i raczej małe, więc ich sprawdzenie nie powinno zająć dużo czasu.}
W(1) = 1³ + 19·1² + 114·1 - 540 = -406 ≠ 0
W(2) = 2³ + 19·2² + 114·2 - 540 = 8 + 76 + 228 - 540 = -228 ≠ 0
W(3) = 3³ + 19·3² + 114·3 - 540 = 27 + 171 + 342 - 540 = 0
3 jest pierwiastkiem wielomianu, więc możemy podzielić wielomian przez dwumian x-3 (najprościej robi się to korzystając ze schematu Hornera):
[tex]\underline{\quad|\ 1\ |\ 19\ |\ 114\ |\, {-}540\ |}\\3\ \, |\ 1\ |\ 22\ |\ 180\ |\quad\ 0\quad|[/tex]
Zatem:
x³ + 19x² + 114x - 540 = (x - 3)(x² + 22x + 180)
Wracając do równania mamy:
(x - 3)(x² + 22x + 180) = 0
x - 3 = 0 ∨ x² + 22x + 180 = 0
x = 3 Δ = 22² - 4·180 = 484 - 720 < 0 ⇒ x∈∅
Odp.: Każdy z wymiarów prostopadłościanu zwiększono o 3 cm.
{W schemacie Hornera w pierwszym wierszu wpisujemy współczynniki z wielomianu. W drugim wierszu, na początku mamy pierwiastek wielomianu. W kolejnych kolumnach mamy: w pierwszej spisujemy pierwszy współczynnik z wiersza pierwszego, w kolejnych wpisujemy sumę współczynnika z wiersza pierwszego (z tej samej kolumny) i iloczynu pierwiastka wielomianu przez liczbę z poprzedniej kolumny drugiego wiersza. Liczby z drugiego wiersza (oprócz pierwiastka) to współczynniki wielomianu otrzymanego w wyniku dzielenia. Wielomian ten jest o stopień niższy od wielomianu początkowego.}
