[tex]|\overrightarrow{\gamma_1}|=|\overrightarrow{\gamma_2}|=\gamma=\dfrac{GM}{x^2}\\\\\\H^2+\bigg(\dfrac{d}{2}\bigg)^2=x^2\\\\H^2+\dfrac{d^2}{4}=x^2\\\\H^2=x^2-\dfrac{d^2}{4}\\4H^2=4x^2-d^2\\2H=\sqrt{4x^2-d^2}\\H={1\over2}\sqrt{4x^2-d^2}\\\\\\\sin\alpha=\dfrac{H}{x}=\dfrac{{1\over2}\sqrt{4x^2-d^2}}{x}=\dfrac{\sqrt{4x^2-d^2}}{2x}[/tex]Zad. 1
[tex]\text{Dane:}\\\\x=\dfrac{\rho_1}{\rho_2}\\\\y=\dfrac{R_1}{R_2}\\\\\text{Wzory:}\\\\\rho=\dfrac{M}{V}\implies M=\rho V\\\\V={4\over3}\pi R^3\\\\v_I=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}\\\\\gamma=\dfrac{GM}{R^2}\\\\v_{II}=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}=\sqrt{2}v_I[/tex]
[tex]\text{a) }\dfrac{M_1}{M_2}=\dfrac{\rho_1V_1}{\rho_2V_2}=\dfrac{\rho_1\cdot{4\over3}\pi R_1^3}{\rho_2\cdot{4\over3}\pi R_2^3}=\dfrac{\rho_1R_1^3}{\rho_2R_2^3}=\dfrac{\rho_1}{\rho_2}\cdot\bigg(\dfrac{R_1}{R_2}\bigg)^3=xy^3[/tex]
[tex]\text{b) }\dfrac{v_{I1}}{v_{I2}}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{GM_1}{R_1}}}{\sqrt{\dfrac{GM_2}{R_2}}}=\sqrt{\dfrac{GM_1}{R_1}\cdot\dfrac{R_2}{GM_2}}}=\sqrt{\dfrac{M_1}{M_2}\cdot\dfrac{R_2}{R_1}}=\sqrt{xy^3\cdot\dfrac{1}{y}}=\sqrt{xy^2}=y\sqrt{x}[/tex]
[tex]\text{c) }\dfrac{\gamma_1}{\gamma_2}=\dfrac{\dfrac{GM_1}{R_1^2}}{\dfrac{GM_2}{R_2^2}}=\dfrac{GM_1}{R_1^2}\cdot\dfrac{R_2^2}{GM_2}=\dfrac{M_1}{M_2}\cdot\bigg(\dfrac{R_2}{R_1}\bigg)^2=xy^3\cdot\dfrac{1}{y^2}=xy[/tex]
[tex]\text{d) }\dfrac{v_{II1}}{v_{II2}}=\dfrac{\sqrt{2}v_{I1}}{\sqrt{2}v_{I2}}=\dfrac{v_{I1}}{v_{I2}}=y\sqrt{x}[/tex]
Zad. 2
[tex]\text{Dane: }\rho,\ R[/tex]
[tex]v_I=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}=\sqrt{\dfrac{G\rho V}{R}}=\sqrt{\dfrac{G\rho\cdot{4\over3}\pi R^3}{R}}=\sqrt{\dfrac{4R^2G\rho\pi}{3}}=2R\sqrt{\dfrac{G\rho\pi}{3}}\\\\v_I=\dfrac{2R}{3}\sqrt{3G\rho\pi}\\v_I(R)=\frac{2}{3}\sqrt{3G\rho\pi}\cdot R\\\\v_I(\rho)=\dfrac{2R}{3}\sqrt{3G\pi}\cdot \sqrt{\rho}[/tex]
[tex]v_{II}=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}=\sqrt{\dfrac{2G\rho V}{R}}=\sqrt{\dfrac{2G\rho\cdot{4\over3}\pi R^3}{R}}=\sqrt{\dfrac{8R^2G\rho\pi}{3}}=2R\sqrt{\dfrac{2G\rho\pi}{3}}\\\\v_{II}=\dfrac{2R}{3}\sqrt{6G\rho\pi}\\v_{II}(R)=\frac{2}{3}\sqrt{6G\rho\pi}\cdot R\\\\v_{II}(\rho)=\dfrac{2R}{3}\sqrt{6G\pi}\cdot \sqrt{\rho}[/tex]
Wykresy dla pierwszej i drugiej prędkości kosmicznej będą podobne, bo druga jest po prostu √2 razy większa od pierwszej. Wykresy zależności obu prędkości od promienia będą funkcjami liniowymi, a w zależności od gęstości – funkcjami pierwiastkowymi. Cztery wykresy daję w załączniku.
Zad. 3
[tex]\text{Dane: }r_1,\ r_2,\ M,\ m[/tex]
[tex]\text{Wzory:}\\W=\Delta E_c\\\Delta E_c=E_{c_2}-E_{c_1}\\E_c=E_k+E_p\\E_k=\dfrac{mv^2}{2}\\E_p=-\dfrac{GMm}{r}[/tex]
By rakieta została przemieszczona przy użyciu jak najmniejszej energii, to zarówno na orbicie r₁ i r₂ będzie się poruszała z pierwszą prędkością kosmiczną o wartościach kolejno vᵢ₁ i vᵢ₂.
[tex]W=\Delta E_c\\W=E_{c_2}-E_{c_1}\\W=(E_{k_2}+E_{p_2})-(E_{k_1}+E_{p_1})\\W=E_{k_2}+E_{p_2}-E_{k_1}-E_{p_1}\\\\W=\dfrac{mv_{I2}^2}{2}-\dfrac{GMm}{r_2}-\dfrac{mv_{I1}^2}{2}+\dfrac{GMm}{r_1}\\\\W=\dfrac{m\bigg(\sqrt{\dfrac{GM}{r_2}}\bigg)^2}{2}-\dfrac{GMm}{r_2}-\dfrac{m\bigg(\sqrt{\dfrac{GM}{r_1}}\bigg)^2}{2}+\dfrac{GMm}{r_1}\\\\W=\dfrac{GMm}{2r_2}-\dfrac{GMm}{r_2}-\dfrac{GMm}{2r_1}+\dfrac{GMm}{r_1}\\\\W=\dfrac{GMm}{2r_2}-\dfrac{2GMm}{2r_2}-\dfrac{GMm}{2r_1}+\dfrac{2GMm}{2r_1}[/tex]
[tex]W=-\dfrac{GMm}{2r_2}+\dfrac{GMm}{2r_1}\\\\W=\dfrac{GMm}{2}\bigg(\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}\bigg)\\\\W=\dfrac{GMm}{2}\cdot\dfrac{r_2-r_1}{r_1r_2}\\\\W=\dfrac{GMm(r_2-r_1)}{2r_1r_2}[/tex]
Zad. 4
Słońce stanowi 99,86% masy całego Układu Słonecznego, dlatego siły grawitacji pochodzące od innych są tak znikome, że możemy je pominąć. Przy takich założeniach, każda planeta spełnia zasadę zachowania momentu pędu, która mówi o tym, że dla dowolnego izolowanego układu punktów materialnych całkowita suma ich momentów pędu jest stała. Moment pędu jest iloczynem wektorowym promienia wodzącego planety i jej pędu. Jeżeli moment pędu planety jest stały, to wartość pędu planety jest odwrotnie proporcjonalna do wartości promienia wodzącego. Mówiąc prościej, im planeta jest dalej od środka masy Układu Słonecznego, tym ma mniejszy pęd i na odwrót. Z racji tego, że pęd planety zależy od prędkości i masy (a masa planety się nie zmienia), to pęd zależy w zasadzie tylko od prędkości planety.
Na tej zasadzie opiera się drugie prawo Keplera, które mówi, że w równych odstępach czasu promień wodzący planety, poprowadzony od Słońca, zakreśla równe pola.
Peryhelium jest punktem, w którym planeta znajduje się w najbliższej odległości od Słońca, a to oznacza, że w tym punkcie wartość prędkości planety jest największa. Aphelium jest przeciwieństwem peryhelium, a więc jest to punkt, w którym planeta i Słońce są w największej odległości. Analogicznie, w tym punkcie wartość prędkości planety jest najmniejsza.
Zad. 5
[tex]\text{Dane: }d,\ M,\ x[/tex]
Przykład 1:
Rysunek pomocniczy w załączniku.
[tex]|\overrightarrow{\gamma_1}|=|\overrightarrow{\gamma_2}|=\gamma=\dfrac{GM}{x^2}\\\\\\H^2+\bigg(\dfrac{d}{2}\bigg)^2=x^2\\\\H^2+\dfrac{d^2}{4}=x^2\\\\H^2=x^2-\dfrac{d^2}{4}\\4H^2=4x^2-d^2\\2H=\sqrt{4x^2-d^2}\\H={1\over2}\sqrt{4x^2-d^2}\\\\\\\sin\alpha=\dfrac{H}{x}=\dfrac{{1\over2}\sqrt{4x^2-d^2}}{x}=\dfrac{\sqrt{4x^2-d^2}}{2x}[/tex]
[tex]\sin\alpha=\dfrac{{1\over2}|\overrightarrow{\gamma_w}|}{|\overrightarrow{\gamma_1}|}=\dfrac{|\overrightarrow{\gamma_w}|}{2|\overrightarrow{\gamma_1}|}=\dfrac{|\overrightarrow{\gamma_w}|}{2\dfrac{GM}{x^2}}=\dfrac{x^2|\overrightarrow{\gamma_w}|}{2GM}[/tex]
[tex]\dfrac{x^2|\overrightarrow{\gamma_w}|}{2GM}=\dfrac{\sqrt{4x^2-d^2}}{2x}\\\\|\overrightarrow{\gamma_w}|=\dfrac{2GM\sqrt{4x^2-d^2}}{2x^3}\\\\|\overrightarrow{\gamma_w}|=\dfrac{GM\sqrt{4x^2-d^2}}{x^3}[/tex]
Przykład 2:
Rysunek pomocniczy w załączniku.
[tex]|\overrightarrow{\gamma_1}|=\dfrac{GM}{d^2}\\\\|\overrightarrow{\gamma_2}|=\dfrac{G\cdot2M}{(2d+d)^2}=\dfrac{2GM}{9d^2}\\\\|\overrightarrow{\gamma_w}|=|\overrightarrow{\gamma_1}|+|\overrightarrow{\gamma_2}|=\dfrac{GM}{d^2}+\dfrac{2GM}{9d^2}=\dfrac{9GM}{9d^2}+\dfrac{2GM}{9d^2}=\dfrac{11GM}{9d^2}[/tex]
Zad. 6
[tex]\text{Dane: }\rho,\ R[/tex]
[tex]\text{Wzory:}\\\\F_{od}=\dfrac{mv^2}{R}\\\\f=\dfrac{1}{T}\\\\\\F_{od}=F_g\\\\\dfrac{mv^2}{R}=\dfrac{GMm}{R^2}\\\\v^2=\dfrac{GM}{R}\\\\\bigg(\dfrac{2\pi R}{T}\bigg)^2=\dfrac{G\rho V}{R}\\\\\dfrac{4\pi^2R^2}{T^2}=\dfrac{G\rho\cdot{4\over3}\pi R^3}{R}\\\\\dfrac{4\pi^2R^2}{T^2}=\dfrac{4G\rho\pi R^2}{3}\\\\\dfrac{T^2}{4\pi^2R^2}=\dfrac{3}{4G\rho\pi R^2}\\\\T^2=\dfrac{12\pi^2R^2}{4G\rho\pi R^2}\\\\T^2=\dfrac{3\pi}{G\rho}\\\\T=\sqrt{\dfrac{3\pi}{G\rho}}\\\\\\f=\sqrt{\dfrac{G\rho}{3\pi}}[/tex]
Legenda:
ρ → gęstość gwiazdy
R / r → promień gwiazdy lub promień wodzący
G → stała grawitacji
M → masa gwiazdy
V → objętość gwiazdy
vᵢ → pierwsza prędkość kosmiczna
γ → natężenie pola grawitacyjnego
vᵢᵢ → druga prędkość kosmiczna
₁ ₂ → indeksy dolne oznaczające kolejno gwiazdę pierwszą i drugą, np. ρ₁ oznacza gęstość pierwszej gwiazdy, a R₂ oznacza promień drugiej gwiazdy
m → masa obiektu poruszającego się wokół planety
W → praca
ΔEc → przyrost energii całkowitej
Ec → energia całkowita
Ek → energia kinetyczna
Ep → energia potencjalna
x / d → odległość między masami i/lub punktami
H → wysokość trójkąta o bokach x, x, d padająca na bok d
T → okres
f → częstotliwość
