Odpowiedź:
[tex]f(k)=\left\{\begin{array}{l} 2\qquad k\in(-\infty,-\frac{3}{5})\cup(1,+\infty) \\1\qquad k=-\frac{3}{5}\\0\qquad k\in(-\frac{3}{5},1 > \end{array} \right.[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex](1-k)x^2+(k-1)x+(k+1)=0[/tex]
Przypadek 1.
[tex]1-k=0\\k=1\\(1-1)x^2+(1-1)x+(1+1)=0\\2=0[/tex]
równanie sprzeczne, czyli dla k=0 jest brak rozwiązań
Przypadek 2.
[tex]k\neq 1\\\Delta=(k-1)^2-4*(1-k)(k+1)=k^2-2k+1-4(1-k^2)=k^2-2k+1-4+4k^2=\\=5k^2-2k-3\\\Delta_k=(-2)^2-4*5*(-3)=4+60=64\\\sqrt{\Delta_k}=8\\k_1=\frac{2-8}{2*5}=\frac{-6}{10}=-\frac{3}{5}\\k_2=\frac{2+8}{2*5}=\frac{10}{10}=1[/tex]
2 rozwiązania, gdy
[tex]\Delta > 0\\k\in(-\infty,-\frac{3}{5})\cup(1,+\infty)[/tex]
1 rozwiązanie, gdy (przypominam, że w tym przypadku [tex]k\neq 1[/tex])
[tex]\Delta=0\\k=-\frac{3}{5}[/tex]
0 rozwiązań, gdy
[tex]\Delta < 0\\k\in(-\frac{3}{5},1)[/tex]
Ostatecznie szukana funkcja to
[tex]f(k)=\left\{\begin{array}{l} 2\qquad k\in(-\infty,-\frac{3}{5})\cup(1,+\infty) \\1\qquad k=-\frac{3}{5}\\0\qquad k\in(-\frac{3}{5},1 > \end{array} \right.[/tex]
