Odpowiedź:
a) funkcja jest rosnąca dla [tex]x\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)[/tex]
funkcja jest malejąca dla [tex]x\in ( -3,1 )[/tex]
b) funkcja jest rosnąca dla [tex]x\in(0,+\infty)[/tex]
funkcja jest malejąca dla [tex]x\in(-\infty,0)[/tex]
c) funkcja jest rosnąca dla [tex]x\in(-2,0)\cup(2,+\infty)[/tex]
funkcja jest malejąca dla [tex]x\in(-\infty,-2)\cup(0,2)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Przedziały monotoniczności - pochodne
Obliczamy pierwszą pochodną funkcji.
Funkcja rośnie jeżeli [tex]f'(x) > 0[/tex] oraz maleje, gdy [tex]f'(x) < 0[/tex]
a) [tex]f'(x)=3x^2+6x-9[/tex]
[tex]3x^2+6x-9 > 0[/tex] rozwiązujemy nierówność
[tex]\Delta=144\\\sqrt{\Delta}=12 \\x_1=-3\\x_2=1[/tex]
Pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie dla [tex]x\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)[/tex], czyli na tym przedziale funkcja f(x) jest rosnąca.
Pochodna funkcji przyjmuje wartości ujemne dla [tex]x\in (-3,1 )[/tex], to znaczy, ze na tym przedziale funkcja f(x) maleje.
b) [tex]f'(x)=\frac{8x}{(x^2-4)^2}[/tex]
[tex]\frac{8x}{(x^2-4)^2} > 0[/tex]
[tex]8x > 0\\x > 0[/tex]
Funkcja f(x) jest rosnąca w przedziale [tex](0,+\infty)[/tex] i jest malejąca w przedziale [tex](-\infty,0)[/tex].
c) [tex]f'(x)=3x^3-12x[/tex]
[tex]3x^3-12x > 0\\x(3x^2-12) > 0\\x=0\vee x=2\vee x=-2[/tex]
Pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie dla [tex]x\in(-2,0)\cup(2,+\infty)[/tex], czyli w tych przedziałach funkcja f rośnie.
Funkcja maleje w przedziałach [tex](-\infty,-2)\cup(0,2)[/tex] (patrz załącznik).
