12.
[tex]A=W(f)\\B=W(g)\\\\f(x)=4x^2+72x+323\\\Delta=72^2-4*4*323=5184-5168=16\\p=\frac{-b}{2a}=\frac{-72}{2*4}=\frac{-72}8=-9\\q=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-16}{4*4}=\frac{-16}{16}=-1\\A(-9, -1)\\\\g(x)=-2(x-5)^2+7\\p=5\\q=7\\B(5; 7)\\\\S(x, y)=(\frac{x_A+x_B}2; \frac{y_A+y_B}2)\\x=\frac{-9+5}2=\frac{-4}2=-2\\y=\frac{-1+7}2=\frac{6}2=3\\\\S(-2; 3)[/tex]
13.
[tex]f(x)=x^2-6x-2\\\Delta=(-6)^2-4*1*(-2)=36+8=44\\p=\frac{6}2=3\\q=\frac{-44}{4}=-11\\W(3; -11)\\\\f(1)=1^2-6*1-2=1-6-2=-5-2=-7\\A(1; -7)\\\\f(6)=6^2-6*6-2=36-36-2=-2\\B(6, -2)[/tex]
Rownanie prostej zawierajacej punkty AB
[tex]\left \{ {{-7=a+b } \atop {-2=6a+b}} \right. \\-7-a=b\\-2=6a+(-7-a)\\-2=6a-7-a\\-2+7=5a\\5=5a /:5\\a=1\\-7=1+b /-1\\-8=b\\\\y=x-8[/tex]
Rownanie prostej zawierajacej punkty AW
[tex]\left \{ {{-11=3a+b} \atop {-7=a+b/*(-3)}} \right. \\\left \{ {{-11=3a+b} \atop {21=-3a-3b}} \right. \\-11+21=b-3b\\10=-2b /:(-2)\\-5=b\\-11=3a-5 /+5\\-6=3a /:3\\-2=a\\y=-2x-5[/tex]
Rownanie prostej zawierajacej punkty BW
[tex]\left \{ {{-11=3a+b /*(-2)} \atop {-2=6a+b}} \right. \\\left \{ {{22=-6a-2b} \atop {-2=6a+b}} \right. \\22-2=-2b+b\\20=-b\\b=-20\\-11=3a-20 /+20\\9=3a /:3\\3=a\\y=3x-20[/tex]
Wyznaczenie prostej prostopadlej do prostej BW przechodzacej przez punkt A:
[tex]a_1=3\\a_1*a_2=-1\\3*a_2=-1 /:3\\a_2=-\frac13\\\\y=-\frac13x+b\\-7=-\frac13*1+b\\-7=-\frac13+b /+\frac13\\-7+\frac13=b\\-6\frac23=b\\y=-\frac13x-6\frac23[/tex]
Wyznaczenie punktu przeciecia tej prostej z prosta BW
[tex]\left \{ {{y=3x-20} \atop {y=-\frac13x-6\frac23}} \right. \\3x-20=-\frac13x-6\frac23\\3x+\frac13x=-6\frac23+20\\\frac93x+\frac13x=-\frac{20}3+\frac{60}{3}\\9x+x=-20+60\\10x=40 /:10\\x=4\\y=3*4-20\\y=12-20\\y=-8[/tex]
P(4, -8)
Wyznaczenie dlugosci odcinka AP i BW
[tex]AP=\sqrt{(4-1)^2+(-8+7)^2}=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}\\BW=\sqrt{(3-6)^2+(-11+2)^2}=\sqrt{(-3)^2+(-9)^2}=\sqrt{9+81}=\sqrt{90}=\sqrt{9*10}=3\sqrt{10}[/tex]
[tex]P=\frac{AP*BW}2=\frac{\sqrt{10}*3\sqrt{10}}2=\frac{3*10}2=3*5=15[/tex]
