Odpowiedź:
a) CD=3
b) [tex]AD=2\sqrt{2},CD=\sqrt{5}[/tex]
c) [tex]AC=\sqrt{29} ,BD=2\sqrt{5}[/tex]
d) [tex]1\frac{1}{3}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Geometria, trygonometria
Zacznijmy od rysunku i zaznaczenia kątów α oraz β.
Przypomnij sobie, jak działa tangens.
a) Obliczamy najpierw fragmenty dolnej podstawy tzn. AE i FB.
W trójkącie AED
[tex]tg\alpha =1=\frac{DE}{AE}=\frac{2}{AE}[/tex]
Z tego wynika, że [tex]AE=2[/tex]
Analogicznie z drugiej strony, w trójkącie CFB
[tex]tg\beta =2=\frac{CF}{FB}=\frac{2}{FB}[/tex]
Z tego wynika, że [tex]FB=1[/tex]
Razem odcinki [tex]AE[/tex] i [tex]FB[/tex] maja długość 3.
Wobec tego odcinek [tex]EF=DC=6-3=3[/tex] krótsza podstawa
b) Obliczamy długości ramion.
Z Pitagorasa w trójkącie AED (na rysunku można dopisać, że [tex]AE=2[/tex])
[tex]2^2+2^2=AD^2\\AD=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}[/tex]
Analogicznie z drugiej strony, w trójkącie DFB (na rysunku dopisujemy FB=1)
[tex]1^2+2^2=CB^2\\CB=\sqrt{5}[/tex]
c) Obliczamy długości przekątnych. Zauważmy, że odcinek [tex]AF=3+2=5[/tex] oraz odcinek [tex]EB=3+1=4[/tex].
Z Pitagorasa w trójkącie ACF
[tex]5^2+2^2=AC^2\\AC=\sqrt{29}[/tex]
Podobnie, w trójkącie DEB
[tex]2^2+4^2=BD^2\\BD=\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot5}=2\sqrt{5}[/tex]
d) Aby obliczyć odległość punktu przecięcia przekątnych od podstawy AB, łatwiej będzie obliczyć również odległość do drugiej podstawy.
Trójkąty AGB i DGC są podobne na mocy cechy kkk (występują tam kąty wierzchołkowe i naprzemianległe).
Suma dwóch wysokości [tex]h_1+h_2=2[/tex] .
Z podobieństwa zachodzą proporcje:
[tex]\frac{h_1}{h_2}=\frac{AB}{CD}=\frac{6}{3}=2[/tex]
[tex]h_1=2h_2[/tex]
[tex]2h_2+h_2=2\\3h_2=2\\h_2=\frac{2}{3}[/tex]
[tex]h_1=1\frac{1}{3}[/tex]
