Zadanie 1.
[tex]f(x)=\frac{x+3}{x-5}=\frac{x-5+8}{x-5}=1+\frac{8}{x-5}\\D_f=\mathbb{R}-\{5\}[/tex]
Niech [tex]x_1\neq x_2[/tex] czyli [tex]x_2-x_1\neq 0[/tex].
Badam różnicę [tex]f(x_1)-f(x_2)[/tex].
[tex]f(x_1)-f(x_2)=(1+\frac{8}{x_1-5})-(1+\frac{8}{x_2-5})=1+\frac{8}{x_1-5}-1-\frac{8}{x_2-5}=\\\\=\frac{8}{x_1-5}-\frac{8}{x_2-5}=\frac{8(x_2-5)-8(x_1-5)}{(x_1-5)(x_2-5)}=\frac{8(x_2-5-x_1+5)}{(x_1-5)(x_2-5)}=\frac{8(\overbrace{x_2-x_1}^{\neq 0})}{(x_1-5)(x_2-5)}\neq 0[/tex]
Zatem [tex]f(x_1)\neq f(x_2)[/tex].
Funkcja jest różnowartościowa.
Zadanie 2.
[tex]f(x)=2x^2-3\qquad x\in < 0,+\infty)[/tex]
Niech [tex]x_1,x_2\in < 0,+\infty)[/tex] (zał. A) oraz [tex]x_1 < x_2[/tex] (zał. B)czyli [tex]x_1-x_2 < 0[/tex].
Badam znak różnicy [tex]f(x_1)-f(x_2)[/tex].
[tex]f(x_1)-f(x_2)=(2x_1^2-3)-(2x_2^2-3)=2x_1^2-3-2x_2^2+3=2x_1^2-2x_2^2=2(x_1^2-x_2^2)=2(\underbrace{x_1-x_2}_{ < 0})(\underbrace{x_1+x_2}_{ > 0}) < 0[/tex]
Pierwszy nawias jest ujemny z założenia B, a drugi jest dodatni z założenia A.
Zatem [tex]f(x_1) < f(x_2)[/tex].
Funkcja jest rosnąca w danym przedziale.
Zadanie 3.
[tex]f(x)=x^4-3x^2+1[/tex]
Aby funkcja była parzysta, musi być [tex]f(-x)=f(x)[/tex].
[tex]f(-x)=(-x)^4-3(-x)^2+1=x^4-3x^2+1=f(x)[/tex]
Funkcja jest parzysta.
Zadanie 4.
[tex]f(x)=4x^3+2x[/tex]
Aby funkcja była nieparzysta, musi być [tex]f(-x)=-f(x)[/tex].
[tex]f(-x)=4(-x)^3+2(-x)=-4x^3-2x=-(4x^3+2x)=-f(x)[/tex]
Funkcja jest nieparzysta.