a)
[tex]f(x)=x^2-2x=(x^2-2x+1)-1=(x-1)^2-1[/tex]
b)
Na tym przykładzie wytłumaczę technikę:
KROK 1
Wyciągamy współczynnik a przed nawias, ale wystarczy tylko dla [tex]x^2[/tex] i [tex]x[/tex]:
[tex]f(x)=-2x^2+6x+1=-2(x^2-3x)+1[/tex]
KROK 2
W nawiasie dodajemy i odejmujemy kwadrat połowy współczynnika przy [tex]x[/tex]:
[tex]f(x)=-2x^2+6x+1=-2(x^2-3x)+1=-2(x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4})+1[/tex]
KROK 3
Pierwsze trzy składniki w nawiasie zwijamy ze wzoru skróconego mnożenia do kwadratu sumy/różnicy (tu akurat różnicy):
[tex]f(x)=-2x^2+6x+1=-2(x^2-3x)+1=-2(x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4})+1=\\=-2[(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}]+1[/tex]
KROK 4
Mnożymy nawias kwadratowy przez współczynnik a i redukujemy wyrazy wolne:
[tex]f(x)=-2x^2+6x+1=-2(x^2-3x)+1=-2(x^2-3x+\frac{9}{4}-\frac{9}{4})+1=\\=-2[(x-\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}]+1=-2(x-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{2}+1=-2(x-\frac{3}{2})^2+5\frac{1}{2}[/tex]
c)
[tex]f(x)=-x^2+2x+8=-(x^2-2x)+8=-(x^2-2x+1-1)+8=-[(x-1)^2-1]+8=\\=-(x-1)^2+1+8=-(x-1)^2+9[/tex]
d)
[tex]f(x)=3x^2-24x+50=3(x^2-8x)+50=3(x^2-8x+16-16)+50=\\=3[(x-4)^2-16]+50=3(x-4)^2-48+50=3(x-4)^2+2[/tex]
e)
[tex]f(x)=\frac{1}{2}x^2+3x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(x^2+6x)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(x^2+6x+9-9)+\frac{1}{2}=\\=\frac{1}{2}[(x+3)^2-9]+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(x+3)^2-\frac{9}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(x+3)^2-4[/tex]
f)
[tex]f(x)=-\frac{1}{4}x^2+2x+2=-\frac{1}{4}(x^2-8x)+2=-\frac{1}{4}(x^2-8x+16-16)+2=\\=-\frac{1}{4}[(x-4)^2-16]+2=-\frac{1}{4}(x-4)^2+4+2=-\frac{1}{4}(x-4)^2+6[/tex]
