Odpowiedź:
[tex]B=(2,0)\\C=(-2,4)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]A(-3,-1)\qquad C(3,5)\qquad P=24[/tex]
Policzmy długość odcinka AC.
[tex]|AC|=\sqrt{(3+3)^2+(5+1)^2}=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{6^2*2}=6\sqrt2[/tex]
Policzmy długość odcinka BD z pola rombu.
[tex]\frac{6\sqrt2*|BD|}{2}=24\\3\sqrt2*|BD|=24\ |:3\sqrt2\\|BD|=\frac{24}{3\sqrt2}=\frac{8}{\sqrt2}*\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{8\sqrt2}{2}=4\sqrt2[/tex]
Znajdźmy prostą AC.
[tex]AC: y=ax+b\\\left \{ {{-1=-3a+b} \atop {5=3a+b}} \right|+\\\left \{ {{4=2b\ |:2} \atop {5=3a+b}} \right.\\\left \{ {{b=2} \atop {5=3a+2}} \right.\\\left \{ {{b=2} \atop {3=3a\ |:3}} \right.\\\left \{ {{b=2} \atop {a=1}} \right.\\AC: y=x+2[/tex]
W rombie przekątne są prostopadłe i dzielą się na połowy. Znajdźmy prostą prostopadłą do prostej AC przechodzącą przez środek odcinka AC. Prosta prostopadła ma współczynnik kierunkowy przeciwny i odwrotny do współczynnika prostej AC.
[tex]S_{AC}=(\frac{-3+3}{2},\frac{-1+5}{2})=(0,2)\\BD: y=-x+b\\BD: y=-x+2[/tex]
Punktów B i D szukamy na prostej BD, więc ich współrzędne możemy zapisać jako [tex](x,-x+2)[/tex].
Skoro długość odcinka BD to [tex]4\sqrt2[/tex], to szukane punkty są w odległości [tex]2\sqrt2[/tex] od punktu przecięcia przekątnych czyli punktu [tex]S_{AC}[/tex]. Zatem
[tex]\sqrt{(x-0)^2+(-x+2-2)^2}=2\sqrt2\\\sqrt{x^2+x^2}=2\sqrt2\ |^2\\2x^2=8\ |:2\\x^2=4\\x=2\vee x=-2[/tex]
Zatem szukane punkty to
[tex]B=(2,0)\\C=(-2,4)[/tex]
