Rozwiązanie:
Współczynnik kierunkowy stycznej musi być równy:
[tex]$a=-\frac{1}{2}[/tex]
Zatem styczna musi mieć postać:
[tex]$y=-\frac{1}{2} x+b[/tex]
Teraz styczna musi mieć dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem, a zatem równanie:
[tex]$x^{2}+\Big(-\frac{1}{2}x+b \Big)^{2}+8x-29=0[/tex]
musi mieć dokładnie jedno rozwiązanie.
Przekształćmy je nieco:
[tex]$x^{2}+\frac{1}{4}x^{2}-bx+b^{2}+8x-29=0[/tex]
[tex]$\frac{5}{4} x^{2}+x(8-b)+b^{2}-29=0[/tex]
Liczymy wyróżnik takiego trójmianu:
[tex]$\Delta_{x}=(8-b)^{2}-4 \cdot \frac{5}{4} \cdot (b^{2}-29)=64-16b+b^{2}-5b^{2}+145=-4b^{2}-16b+209[/tex]
Tak jak powiedzieliśmy, chcemy mieć tutaj jedno rozwiązanie, a zatem:
[tex]-4b^{2}-16b+209=0[/tex]
[tex]$\Delta=256-4 \cdot (-4) \cdot 209=3600[/tex]
[tex]$b_{1}=\frac{16-60}{-8} =\frac{44}{8} =\frac{11}{2}[/tex]
[tex]$b_{2}=\frac{16+60}{-8} =-\frac{76}{8} =-\frac{19}{2}[/tex]
Teraz wystarczy wstawić te współczynniki do równania stycznej:
[tex]$y_{1}=-\frac{1}{2} x+\frac{11}{2}[/tex]
[tex]$y_{2}=-\frac{1}{2}x-\frac{19}{2}[/tex]
