Odpowiedź :
Wykorzystamy związek między średnią arytmetyczną i średnią geometryczną liczb.
[tex]\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}[/tex]
Przekształćmy daną nierówność.
[tex]\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d} \geq \frac{(a+c)^2}{b+d} \ |*bd(b+d)\\a^2d(b+d)+c^2b(b+d)\geq bd(a+c)^2\\a^2bd+a^2d^2+c^2b^2+c^2bd\geq bd(a^2+2ac+c^2)\\a^2bd+a^2d^2+c^2b^2+c^2bd\geq a^2bd+2acbd+c^2bd\ |-a^2bd-c^2bd\\a^2d^2+c^2b^2\geq 2acbd\ |:2\\\frac{a^2d^2+c^2b^2}{2}\geq acbd\\\frac{(ad)^2+(cb)^2}{2}\geq \sqrt{(ad)^2(cb)^2[/tex]
Podstawiając
[tex]x=(ad)^2\\y=(cb)^2[/tex]
otrzymujemy związek między średnią arytmetyczną i średnią geometryczną
[tex]\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}[/tex]
co kończy dowód.
