Parzystość, kwadrat wartości - dowodzenie.
- Dowolną liczbę parzystą możemy przedstawić jako:
[tex]a=2n[/tex]
gdzie [tex]n[/tex] to liczba całkowita nieujemna (naturalna - wliczając zero). - Podstawiamy do wyrażenia i dostajemy:
[tex]\frac{(2n)^2}{4} + 2n = \frac{4n^2}{4} + 2n = n^2 +2n[/tex] - Załóżmy nie-wprost, że istnieje liczba całkowita, której kwadrat jest postaci [tex]n^2 + 2n[/tex]
- Jednak jeśli tak jest, można by ją przedstawić w postaci:
[tex]x^2 = (p+q)^2 = p^2 +2pq+q^2[/tex] - Widzimy, że jedyna możliwość równości między:
[tex]n^2 + 2n = p^2 + 2pq +q^2[/tex]
(dla liczby całkowitej dodatniej [tex]n[/tex]) to [tex]p=n[/tex] i [tex]q=1[/tex] ale wtedy dostajemy sprzeczność [tex]0=1[/tex] - Jedyna liczba spełniająca żądaną własność to [tex]n=0[/tex], ale z założenia liczba [tex]a[/tex] ma być dodatnia, co kończy dowód.
Warto pamiętać, że dowolną liczbę:
- parzystą przedstawić możemy jako [tex]x=2n[/tex]
- nieparzystą: [tex]x=2n+1[/tex]
dla liczby całkowitej nieujemnej [tex]n[/tex]
