Odpowiedź:
[tex]I.~~a=\dfrac{2cd-c}{d\cdot (1-b-c)}~~zal.~~b+c\neq 1,~~d\neq 0,~~a\neq -2[/tex]
II.
- gdy Δ < 0 ⇒ równie kwadratowe nie posiada rozwiązań ⇒ [tex]a\in \varnothing[/tex]
- gdy Δ = 0 ⇒ równie kwadratowe posiada jedno rozwiązanie [tex]a_{0} =\dfrac{5b-c}{2}[/tex] , pamiętamy o założeniach [tex]a\neq 0,~~a\neq \dfrac{4}{7}[/tex]
- gdy Δ > 0 ⇒ równie kwadratowe posiada dwa rozwiązania [tex]a_{1} =\dfrac{5b-c-\sqrt{(c-5b)^{2} -16b^{2} } }{2} ~~\lor~~a_{2} =\dfrac{5b-c+\sqrt{(c-5b)^{2} -16b^{2} } }{2} ,[/tex] [tex]~~zal.~~a\neq 0,~~a\neq \dfrac{4}{7}~~oraz~~(c-5b)^{2} -16b^{2} \geq 0[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Korzystać będziemy ze wzorów:
- funkcja kwadratowa [tex]f(x)=ax^{2} +bx+c[/tex] , wyróżnik funkcji kwadratowej [tex]\Delta = b^{2} -4\cdot a\cdot c[/tex]
- gdy , Δ > 0 ⇒ funkcja kwadratowa posiada dwa miejsca zerowe :[tex]x_{1} =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta } }{2a} ~~\lor~~x_{2} =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta } }{2a}[/tex] równie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste
- gdy Δ = 0 ⇒ funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe [tex]x_{0} =\dfrac{-b}{2a}[/tex] równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste
- gdy Δ < 0 ⇒ funkcja nie ma miejsc zerowych, równie kwadratowe nie posiada rozwiązań
- pamiętamy o założeniach [tex]\dfrac{x}{y} ,~~zal.~~y\neq 0[/tex]
- pamiętamy o założeniach [tex]\sqrt[n]{x} ,~~zal.~~x\geq 0[/tex]
I.
[tex]\dfrac{a+2b+\frac{c}{d} }{a+2} =b+c,~~zal.~~a\neq -2,~~d\neq 0\\\\a+2b+\dfrac{c}{d} =(a+2)\cdot (b+c)\\\\a+2b+\dfrac{c}{d} =ab+ac+2b+2c\\\\a-ab-ac=2b+2c-2b-\dfrac{c}{d} \\\\a\cdot (1-b-c)=2c-\dfrac{c}{d}\\\\a\cdot (1-b-c)=\dfrac{2cd-c}{d}~~\mid ~\div (1-b-c)\\\\\boxed{a=\dfrac{2cd-c}{d\cdot (1-b-c)}~~zal.~~b+c\neq 1,~~d\neq 0,~~a\neq -2}[/tex]
II.
[tex]\dfrac{a+2b+c}{7a-4} =\dfrac{b}{a} ,~~zal.~~a\neq 0,~~a\neq \dfrac{4}{7} \\\\a\cdot (a+2b+c)=b\cdot (7a-4)\\\\a^{2} +2ab+ac=7ab-4b\\\\a^{2} +2ab+ac-7ab+4b=0\\\\a^{2} +ac-5ab+4b=0\\\\a^{2} +(c-5b)a+4b=0\\\\\Delta=(c-5b)^{2} -4\cdot 1\cdot 4b\\\\\\\Delta=(c-5b)^{2} -16b\\\\\sqrt{\Delta} =\sqrt{(c-5b)^{2} -16b }[/tex]
- gdy Δ < 0 ⇒ równie kwadratowe nie posiada rozwiązań ⇒ [tex]\boxed{a\in \varnothing}[/tex]
- gdy Δ = 0 ⇒ równie kwadratowe posiada jedno rozwiązanie [tex]\boxed{a_{0} =\dfrac{5b-c}{2}}[/tex] , pamiętamy o założeniach [tex]a\neq 0,~~a\neq \dfrac{4}{7}[/tex]
- gdy Δ > 0 ⇒ równie kwadratowe posiada dwa rozwiązania [tex]\boxed{a_{1} =\dfrac{5b-c-\sqrt{(c-5b)^{2} -16b^{2} } }{2} ~~\lor~~a_{2} =\dfrac{5b-c+\sqrt{(c-5b)^{2} -16b^{2} } }{2}} ,[/tex] [tex]~~zal.~~a\neq 0,~~a\neq \dfrac{4}{7}~~oraz~~(c-5b)^{2} -16b^{2} \geq 0[/tex]
