Lewa strona to szereg geometryczny
[tex]\frac{2^x}{1-\frac{1}{2}}\leq 2\sqrt{3\cdot 2^x+4}\\2\cdot2^x\leq 2\sqrt{3\cdot2^x+4}\\2^x\leq\sqrt{3\cdot2^x+4}\\2^x=\xi > 0\\\xi^2\leq 3\xi+4\\\xi^2-3\xi-4\leq0\\\Delta=9+16=25\\\xi_1=\frac{3-5}{2}=-1 < 0\\\xi_2=\frac{3+5}{2}=4[/tex]
[tex]\xi\in(0;4 >[/tex]
ograniczam rozwiązania do 0, gdyż x musi być rzeczywiste (dla ξ<0 mamy rozwiązania zespolone, które nie nadają się do nierówności).
[tex]0 < 2^x\leq 4\\-\infty < x\leq 2\\x\in (-\infty;2 >[/tex]
pozdrawiam
[tex]2^x+2^{x-1}+2^{x-2}+...\le2\cdot\sqrt{3\cdot2^x+4}[/tex]
[tex]2^x+2^{x-1}+2^{x-2}+...=2^x+2^{x}\cdot2^{-1}+2^{x}\cdot2^{-2}+...=\\\\ = 2^x+2^{x}\cdot\frac12+2^{x}\cdot(\frac12)^2+...[/tex]
Czyli po lewej stronie mamy szereg geometryczny, gdzie: [tex]a_1=2^x,\ \ q = \frac12[/tex]
|q| < 1 , czyli szereg jest zbieżny i [tex]S=\dfrac{a_1}{1-q}[/tex]
Zatem lewą stronę możemy zapisać jako: [tex]\dfrac{2^x}{1-\frac12}=\dfrac{2^x}{\frac12}=2^x\cdot2[/tex]
Czyli mamy:
[tex]2^x\cdot2\le2\cdot\sqrt{3\cdot2^x+4}\qquad/:2\\\\2^x\le\sqrt{3\cdot2^x+4}[/tex]
Obie strony nierówności są dodatnie i prawa strona jest większa od 1, więc znak nierówności nie zmieni się jeśli podniesiemy obie strony do kwadratu:
[tex](2^x)^2\le3\cdot2^x+4\\\\(2^x)^2-3\cdot2^x-4\le0[/tex]
Podstawiając [tex]2^x=t[/tex] (t>0) otrzymamy nierówność kwadratową:
[tex]t^2-3t-4\le0\\\\t^2+t-4t-4\le0\\\\t(t+1)-4(t+1)\le0\\\\(t+1)((t-4)\le0\\\\t_1=-1\not > 0\,,\quad\ t_2=4\\\\t\in(0\,,\ 4\big >[/tex]
Czyli wracając do niewiadomej x, mamy: [tex]2^x\in(0\,,\ 4\big >[/tex]
[tex]2^x=4\quad\iff\quad x=2[/tex]
Z własności funkcji wykładniczej, wiemy, że potęga o podstawie większej od 1, zbliża się do wartości 0, kiedy jej wykładnik dąży do minus nieskończoności.
Zatem:
[tex]\large\boxed {x\in(-\infty\,,\ 2\,\rangle}[/tex]