Odpowiedź :
Zabierasz się do tego od złej strony.
Kryterium Leibniza:
Jeżeli ciąg [tex](a_n)[/tex] jest malejący, nieujemny i [tex]\lim_{n \to \infty} a_n =0[/tex], to szereg naprzemienny [tex]\Sigma_{n=1}^\infty(-1)^na_n[/tex] jest zbieżny.
Musimy wydobyć z Twojego przykładu postać ciągu [tex](a_n)[/tex].
[tex]\Sigma_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\Sigma_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n*(-1)}{n}=\Sigma_{n=1}^\infty(-1)^n*(-\frac{1}{n})[/tex]
Porównując z szeregiem w kryterium Leibniza, otrzymujemy, że [tex]a_n=-\frac{1}{n}[/tex].
Musimy teraz sprawdzić, czy ten ciąg spełnia warunki kryterium.
Niestety nie spełnia warunku o nieujemności, ale w tym przypadku można to jeszcze uratować z faktu, że jeśli szereg jest zbieżny, to szereg o wyrazach przeciwnych też jest zbieżny. Zatem wystarczy sprawdzić zbieżność szeregu [tex]\Sigma_{n=1}^\infty(-1)^n*\frac{1}{n}[/tex]. W tym przypadku [tex]a_n=\frac{1}{n}[/tex].
Sprawdzamy, czy ten ciąg spełnia warunki kryterium.
1) Czy jest malejący?
[tex]a_{n+1}-a_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=\frac{n}{n(n+1)}-\frac{n+1}{n(n+1)}=\frac{n-n-1}{n(n+1)}=\frac{-1}{n(n+1)} < 0[/tex]
Jest malejący.
2) Czy jest nieujemny?
[tex]a_n=\frac{1}{n} > 0[/tex]
Jest nieujemny.
3) Czy jest zbieżny do 0?
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=[\frac{1}{+\infty}]=0[/tex]
Jest zbieżny do 0.
Wniosek:
Ciąg [tex]a_n=\frac{1}{n}[/tex] spełnia warunki kryterium Leibniza, więc szereg [tex]\Sigma_{n=1}^\infty(-1)^n*\frac{1}{n}[/tex] jest zbieżny, wiec zbieżny jest również szereg [tex]\Sigma_{n=1}^\infty(-1)^n*(-\frac{1}{n})[/tex].
