Twierdzenie sinusów.
- Zaczynamy od rysunku (poniżej).
- Z twierdzenia sinusów dla trójkąta wiemy, że:
[tex]\frac{a}{\sin |\angle A|} = \frac{b}{\sin |\angle B|} =\frac{c}{\sin |\angle C|} = 2R[/tex]
gdzie kąt [tex]\angle X[/tex] znajduje się "na przeciwko" boku [tex]x[/tex], zaś [tex]R[/tex] to promień okręgu opisanego. - Z danych z zadania mamy:
[tex]\frac{\sqrt3}{\sin |\angle C|} = 2\cdot 1\\ \sin |\angle C| = \sqrt 3 /2[/tex]
czyli [tex]|\angle C| = 60^\circ[/tex]
oraz
[tex]\frac{\sqrt2}{\sin |\angle B|} = 2\cdot 1\\ \sin |\angle B| = \sqrt 2 /2[/tex]
czyli [tex]|\angle B| = 45^\circ[/tex] - Stąd, wiedząc, że suma kątów w trójkącie to [tex]180^\circ[/tex]:
[tex]| \angle A | = 180^\circ - 60^\circ - 45 ^\circ = 75^\circ[/tex] - Zaś stąd (znów z tw. sinusów):
[tex]|BC| = 2 \cdot \sin 75 ^\circ = \frac{1+\sqrt3}{\sqrt 2}[/tex]
Warto przy okazji pamiętać o "pokrewnym" twierdzeniu cosinusów:
[tex]c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos |\angle (a,b)|[/tex]
