Proszę o pomoc!!!
Rozpatrujemy trójkąty prostokątne, w których suma jednej z przyprostokątnych oraz przeciwprostokątnej jest równa 10. Wyznacz pole takiego trójkąta w zależności od długości jego przeciwprostokątnej. Określ dziedzinę tej funkcji oraz oblicz długości boków tego z trójkątów, którego pole jest największe.



Odpowiedź :

Optymalizacja, trójkąty prostokątne.

  1. Oznaczmy boki trójkąta prostokątnego jako [tex]a,b,c[/tex]
  2. Mamy z treści (i twierdzenia Pitagorasa):
    [tex]a+c = 10\\a^2 + b^2 =c^2[/tex]
  3. Zaś wzór na pole trójkąta prostokątnego jest postaci:
    [tex]P _ \triangle = \frac{1}{2} ab[/tex]
  4. Wstawiamy odpowiednie równania do wzoru na pole, tak by dostać zależność jedynie od parametru [tex]c[/tex]:
    [tex]P_\triangle = \frac{1}{2} (10-c) \sqrt{c^2 - (10-c)^2} = \frac{1}{2} (10-c) \sqrt{c^2 - 100 +20c -c^2} = \\= \frac{1}{2} (10-c) \sqrt{20c -100} \equiv P_\triangle (c)[/tex]
  5. Dziedzina powyższej funkcji na pole trójkąta jest spełniona, gdy pierwiastek jest nieujemny - czyli [tex]c \ge 5[/tex] oraz gdy wartość jest liczbą dodatnią - czyli [tex]c \le 10[/tex]
  6. Chcemy znaleźć największe pole - liczymy w tym celu pochodną:
    [tex]P'_\triangle (c) = \frac{1}{2} (10-c) ' \sqrt{20c -100} + \frac{1}{2} (10-c) (\sqrt{20c -100})' =\\= - \frac{1}{2} \sqrt{20c -100} + \frac{1}{2} (10-c) \frac{1}{2} \frac{20}{\sqrt{20c -100}}[/tex]
    a następnie przyrównujemy ją do zera (by znaleźć ekstremum - w tym przypadku maksimum):
    [tex]- \frac{1}{2} \sqrt{20c -100} + \frac{1}{2} (10-c) \frac{1}{2} \frac{20}{\sqrt{20c -100}} = 0\\- \frac{1}{2} (20c-100) + \frac{20}{4} (10-c) = 0\\-10c + 50 + 50 - 5c =0\\-15c =-100\\c= \frac{20}{3}[/tex]
  7. Sprawdzamy, czy znaleziona długość prostokątnej jest w dziedzinie: [tex]5 \le \frac{20}{3} = 6 \frac{2}{3} \le 10[/tex]
  8. Finalnie korzystając z równań (z początku rozwiązania) wyznaczamy długości przyprostokątnych:
    [tex]a= 10 - \frac{20}{3} = \frac{10}{3}\\b = \sqrt{(\frac{20}{3})^2 - (\frac{10}{3})^2} = \frac{1}{3} \sqrt{400-100} = \frac{10\sqrt3}{3}[/tex]

Warto zauważyć, że dla trójkąta prostokątnego o zadanym obwodzie, zawsze trójkąt równoramienny będzie miał największe pole!

Jak policzyć pochodną pierwiastka?

  • wiemy, że pochodna złożenia funkcji:
    [tex]\big( (f \circ g)(x) \big)' = \big( f(g(x)) \big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)[/tex]
  • oraz [tex](x^n)' = nx^{n-1}[/tex]
  • chcemy policzyć [tex]\left(\sqrt{20c-100} \right)'[/tex] korzystamy ze wzoru na pochodną złożenia funkcji:
    - pochodna pierwiastka to:
    [tex](\sqrt x)' = (x^\frac{1}{2})' = \frac{1}{2} x ^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2} x ^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x}}[/tex]
    - zaś pochodna funkcji wewnętrznej:
    [tex](20c-100)'=20[/tex]
  • stąd finalnie:
    [tex]\left(\sqrt{20c-100} \right)' = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{20c-100}} \cdot 20 = \frac{10}{\sqrt{20c-100}}[/tex]