2.
Ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego [tex]a_n=a_1+(n-1)r[/tex] mamy:
[tex]a_4=a_1+3r\\\\a_{10}=a_1+9r[/tex]
Odejmując je od siebie otrzymujemy:
[tex]a_1+9r-(a_1+3r)=-10-2\\\\a_1+9r-a_1-3r=-12\\\\6r=-12\qquad/:6\\\\r=-2[/tex]
Stąd:
[tex]2 = a_1+3\cdot(-2)\\\\2 = a_1-6\\\\\bold{a_1=8}[/tex]
3.
Różnica ciągu arytmetycznego jest stała, czyli a₂ - a₁ = a₃ - a₂
a₁ = 2x + 3
a₂ = x²
a₃ = 8x - 3
Czyli:
[tex]x^2-2x -3=8x -3-x^2\\\\2x^2-10x=0\\\\2x(x-5)=0\\\\x=0\quad\vee\quad x=5\\\\\\\begin{cases}a_1=2\cdot0+3=3\\a_2=0^2=0\\a_3=8\cdot0-3=-3\end{cases}\qquad\vee\qquad\begin{cases}a_1=2\cdot5+3=10+3=13\\a_2=5^2=25\\a_3=8\cdot5-3=40-3=37\end{cases}[/tex]
Odp.:
Podane liczby tworzą ciąg (3, 0, -3) dla x = 0 i ciąg (13, 25, 37) dla x = 5
4.
8 - 6 = 10 - 8 = 2 = r
Zatem po lewej stronie równania mamy sumę ciągu arytmetycznego, w którym a₁ = 6, r = 2 oraz x = aₙ = 6 + (n - 1)·2.
[tex]S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)r}2\cdot n[/tex]
Czyli:
[tex]6+8+10+...+x=546\\\\\dfrac{2\cdot6+(n-1)\cdot2}2\cdot n=546\\\\(6+n-1)\cdot n=546\\\\5n+n^2=546\\\\n^2+5n-546=0\\\\\Delta=25+2184=2209\quad\implies\quad \sqrt\Delta=47\\\\n_1=\dfrac{-5+47}2=21\,,\quad n_2=\dfrac{-5-47}2\notin\mathbb N^+\\\\\\n=21\quad\implies\quad \bold{x=6+20\cdot2=46}[/tex]
