Rzad 1:
[tex]a_1=-8\\r=2\\a_2=a_1+r=-8+2=-6\\a_n=-10+2n\\a_{10}=-10+2*10=-10+20=10\\a_{20}=-10+2*20=-10+40=30\\S_{20}=\frac{-8+30}2*20=\frac{22}2*20=11*20=220[/tex]
Rzad 2:
[tex]a_1=4\\a_2=-6\\a_1+r=a_2\\4+r=-6 /-4\\r=-6-4\\r=-10\\a_n=a_1+(n-1)*r\\a_n=4+(n-1)*(-10)=4-10n+10=14-10n\\a_{10}=14-10*10=14-100=-86\\a_{20}=14-10*20=14-200=-186\\S_{20}=\frac{4-186}2*20=-91*20=-1820[/tex]
Rzad 3:
[tex]a_n=-2+5n\\a_1=-2+5*1=-2+5=3\\a_2=-2+5*2=-2+10=8\\a_1+r=a_2\\3+r=8 /-3\\r=8-3\\r=5\\a_{10}=-2+5*10=-2+50=48\\a_{20}=-2+5*20=-2+100=98\\S_{20}=\frac{3+98}2*20=101*10=1010[/tex]
Rzad 4:
[tex]r=-\frac13\\a_2=\frac23\\a_1+r=a_2\\a_1-\frac13=\frac23 /+\frac13\\a_1=\frac23+\frac13\\a_1=\frac33=1\\a_n=1+(n-1)*(-\frac13)=1-\frac13n+\frac13=\frac33+\frac13-\frac13n=\frac43-\frac13n=-\frac13n+\frac43=-\frac{n}3+\frac43[/tex]
[tex]a_{10}=-\frac{10}3+\frac43=-\frac63=-2\\a_{20}=-\frac{20}3+\frac43=-\frac{16}3\\S_{20}=\frac{1-\frac{16}3}2*20=-\frac{13}3*10=-\frac{130}3[/tex]
Rzad 5:
[tex]r=0.1\\a_{10}=5.9\\a_{10}=a_1+(10-1)*r=a_1+9r\\a_1+9r=5.9\\a_1+9*0.1=5.9\\a_1+0.9=5.9 /-0.9\\a_1=5\\a_2=a_1+r\\a_2=5+0.1=5.1\\a_n=5+(n-1)*0.1=5+0.1n-0.1=0.1n+4.9\\a_{10}=0.1*10+4.9=1+4.9=5.9\\a_{20}=0.1*20+4.9=2+4.9=6.9\\S_{20}=\frac{5+6.9}2*20=11.9*10=119[/tex]
Rzad 6:
[tex]a_2=12\\a_{10}=8\\\\a_1+r=a_2\\a_1+r=12 /-r\\a_1=12-r\\\\a_1+9r=a_{10}\\a_1+9r=8\\12-r+9r=8\\12+8r=8 /-12\\8r=-4 /:8\\r=-\frac48=-\frac12\\\\a_1-\frac12=12 /+\frac12\\a_1=12\frac12=\frac{25}2\\\\a_n=\frac{25}2+(n-1)*(-\frac12)=\frac{25}2-\frac12n+\frac12=-\frac12n+\frac{26}2=-(\frac12n-\frac{26}2)=-\frac{n-26}2\\\\a_{20}=-\frac{20-26}2=-\frac{-6}2=-(-3)=3\\S_{20}=\frac{\frac{25}2+3}2*20=\frac{31}2*10=31*5=155[/tex]
Rzad 7:
[tex]a_{10}=14\\a_{20}=29\\\\a_1+9r=a_{10}\\a_1+9r=14 /-9r\\a_1=14-9r\\\\a_1+19r=a_{20}\\14-9r+19r=29\\14+10r=29 /-14\\10r=15 /:10\\r=\frac{15}{10}=\frac32\\a_1+9*\frac32=14\\a_1+\frac{27}2=14 /-\frac{27}2\\a_1=\frac{28}2-\frac{27}2=\frac12\\a_2=a_1+r\\a_2=\frac12+\frac32=\frac42=2\\\\a_n=\frac12+(n-1)*\frac32=\frac12+\frac32n-\frac32=\frac32n-\frac22=\frac32n-1\\\\S_{20}=\frac{\frac12+29}2*20=29.5*10=295[/tex]
Rzad 8:
[tex]a_{20}=0.8\\S_{20}=-22\\S_{20}=\frac{a_1+a_{20}}2*20\\-22=\frac{a_1+0.8}2*20 /:20\\-\frac{22}{20}=\frac{a_1+0.8}2 /*2\\-\frac{44}{20}=a_1+0.8 /-\frac{8}{10}\\-\frac{44}{20}-\frac{8}{10}=a_1\\a_1=-\frac{44}{20}-\frac{16}{20}=-\frac{60}{20}=-3\\a_1+19r=a_{20}\\-3+19r=0.8 /+3\\19r=3.8 /:19\\r=0.2\\a_2=a_1+r\\a_2=3+0.2=3.2\\a_n=-3+(n-1)*0.2=-3+0.2n-0.2=0.2n-3.2\\a_{10}=0.2*10-3.2=2-3.2=-1.2[/tex]
Przydatne wzory!
Wzor na n-ty wyraz ciagu:
[tex]a_n=a_1+(n-1)*r[/tex]
a₁ - pierwszy wyraz ciagu
r - roznica ciagu
Wzor na sume n wyrazow ciagu:
[tex]S_{n}=\frac{a_1+a_n}2*n[/tex]
