Rozwiązanie:
Równanie:
[tex]z^{3}=(1-i)^{6}[/tex]
Najpierw przekształcamy prawą stronę (wzór De Moivre'a):
[tex]$(1-i)^{6}=(\sqrt{2} )^{6}\Big(\cos \Big(-\frac{6\pi}{4} \Big)+i\sin\Big(-\frac{6\pi}{4} \Big)\Big)=8\Big(\cos \Big(-\frac{3\pi}{2} \Big)+i\sin\Big(-\frac{3\pi}{2} \Big)\Big)=[/tex]
[tex]$=8(0+i)=8i[/tex]
Zatem:
[tex]z^{3}=8i[/tex]
Teraz skorzystamy ze wzoru de Moivre'a na pierwiastki liczby zespolonej:
[tex]$z_{0}=\sqrt[3]{8} \Big(\cos \Big(\frac{\pi}{6} \Big)+i \sin \Big(\frac{\pi}{6} \Big)\Big)=2\Big(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \Big)=\sqrt{3}+i[/tex]
[tex]$z_{1}=\sqrt[3]{8} \Big(\cos \Big(\frac{5\pi}{6} \Big)+i \sin \Big(\frac{5\pi}{6} \Big)\Big)=2\Big(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i \Big)=-\sqrt{3}+i[/tex]
[tex]$z_{2}=\sqrt[3]{8} \Big(\cos \Big(\frac{3\pi}{2} \Big)+i \sin \Big(\frac{3\pi}{2} \Big)\Big)=2\Big(0-i \Big)=-2i[/tex]