Jak sprawdzić, czy ciąg jest rosnący?
- Jeśli ciąg ma być rosnący - chcemy, by kolejne wyrazy ciągu spełniały zależność:
[tex]a_{n+1} > a_n \quad \forall n \in \mathbb{N}[/tex] - Sprawdzamy dla każdego z przykładów:
(a) rosnący, bo:
[tex]\frac{4(n+1)+5}{(n+1)+2} \stackrel{?}{ > } \frac{4n+5}{n+2}\\(4n+9)(n+2) \stackrel{?}{ > } (n+3)(4n+5)\\4n^2+8n+9n+ 18\stackrel{?}{ > } 4n^2 + 5n +12n+15\\ 18\stackrel{}{ > } 15[/tex]
(b) rosnący, bo:
[tex](n+1)^2 -(n+1)-6 \stackrel{?}{ > } n^2-n-6\\n^2 +2n + 1 -n-1-6 \stackrel{?}{ > } n^2-n-6\\2n \stackrel{}{ > } 0 \quad \forall n \in \mathbb{N}[/tex]
(c) rosnący, bo:
[tex](n+1)^3 - 3(n+1) \stackrel{?}{ > } n^3 - 3n \\n^3+3n^2+3n+1 - 3n-3 \stackrel{?}{ > } n^3 - 3n \\3n^2+3n \stackrel{?}{ > } 2\\[/tex]
dla najmniejszej wartości: [tex]n=1[/tex] mamy [tex]6 > 2[/tex], więc dla pozostałych tym bardziej jest spełnione
Analogicznie - by sprawdzić, czy ciąg jest malejący: [tex]a_{n+1} < a_n[/tex].
Z kolei nierosnący - dodatkowo uwzględniamy "równość": [tex]a_{n+1} \le a_n[/tex]
