Środek ciężkości trójkąta, twierdzenie Pitagorasa.
- Dla każdego trójkąta środek ciężkości to punkt przecięcia jego środkowych (każda ze środkowych dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równej powierzchni - wyznacza więc wybraną oś na której znajdować się musi środek ciężkości).
- Środkowe w każdym trójkącie przecinają się w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka (z którego są poprowadzone). Oraz z definicji dzielą wybrany bok na połowy.
- Sporządzamy rysunek (poniżej) wraz z oznaczeniami.
- długości środkowych AD i CE liczymy z twierdzenia Pitagorasa (jedna przyprostokątna plus połowa drugiej)
- długość środkowej BF to połowa przeciwprostokątnej (oraz także promień okręgu opisanego na tym trójkącie prostokątnym). - Liczymy:
[tex]|AD| = \sqrt{12^2 + 9^2} = 3\sqrt{4^2 + 3^2} = 3\sqrt{16+9}=15\\|CE| = \sqrt{18^2 + 6^2} = 6\sqrt{3^2+1}=6\sqrt{10}[/tex]
[tex]|BF| = \frac{1}{2} \sqrt{12^2+18^2}= 3 \sqrt{2^2+3^2}= 3 \sqrt{13}[/tex] - Zaś odległości od wierzchołków to 2/3 długości tych środkowych:
[tex]10 , \; 4\sqrt{10}, \; 2\sqrt{13}[/tex]
Charakterystyczne proste, półproste i odcinki w trójkącie to:
- dwusieczna - półprosta poprowadzona z wierzchołka, dzieląca kąt na równe części - ich punkt przecięcia jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt
- środkowa - odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem naprzeciwległego boku - przecinają się w stosunku 2:1, a ich punkt przecięcia to geometryczny środek ciężkości trójkąta
- symetralna - prosta prostopadła do danego boku, będąca jego osią symetrii - ich punkt przecięcia jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie
