Weźmy romb wyznaczony przez dwa wektory
[tex]\vec{a}_1=a[1;0]\\\vec{a}_2=a[\cos\alpha;\sin\alpha][/tex]
Kolejne wierzchołki będą zatem wyznaczone jako:
[tex]A=(0;0)\\B=(a;0)\\C=(a(1+\cos\alpha);a\sin\alpha)\\D=(a\cos\alpha;a\sin\alpha)[/tex]
zatem środki boków wyznaczające wierzchołki naszego czworokąta:
[tex]A_s=(\frac{a}{2};0)\\B_s=(a+\frac{a}{2}\cos\alpha;\frac{a}{2}\sin\alpha)\\C_s=(\frac{a}{2}+a\cos\alpha;a\sin\alpha)\\D_s=(\frac{a}{2}\cos\alpha;\frac{a}{2}\sin\alpha)[/tex]
Zauważmy teraz, że wektory:
[tex]\vec{A_sB_s}=\frac{a}{2}[1+\cos\alpha;\sin\alpha]\\\vec{A_sD_s}=\frac{a}{2}[\cos\alpha-1;\sin\alpha][/tex]
są prostopadłe
[tex]\vec{A_sB_s}\cdot\vec{A_sD_s}=\frac{a^2}{4}(\cos^2\alpha-1+\sin^2\alpha)=0[/tex]
zaś wektory:
[tex]\vec{A_sB_s}=\frac{a}{2}[1+\cos\alpha;\sin\alpha]\\\vec{D_sC_s}=\frac{a}{2}[1+\cos\alpha;\sin\alpha][/tex]
są równoległe i o tym samym module. Oznacza to, że boki AB i AC są prostopadłe, ora AB i DC równoległe i równej długości wobec czego, także boki BC i AD są równoległe i równej długości, a dodatkowo AB i BC prostopadłe. Ergo, nasz czworokąt jest prostokątem.
pozdrawiam
