Zadanie 1.
Skorzystamy ze wzoru Herona na pole trójkąta.
[tex]P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\text{ gdzie }p=\frac{a+b+c}{2}[/tex]
[tex]p=\frac{4+4\sqrt2+8}{2}=\frac{12+4\sqrt2}{2}=6+2\sqrt2\\P=\sqrt{(6+2\sqrt2)(6+2\sqrt2-4)(6+2\sqrt2-4\sqrt2)(6+2\sqrt2-8)}=\\=\sqrt{(6+2\sqrt2)(2+2\sqrt2)(6-2\sqrt2)(2\sqrt2-2)}=\\=\sqrt{(6+2\sqrt2)(6-2\sqrt2)(2+2\sqrt2)(2\sqrt2-2)}=\sqrt{(36-8)(8-4)}=\\=\sqrt{28*4}=\sqrt{4*7*4}=4\sqrt7[/tex]
Odp: B
Zadanie 2.
Policzmy kąt między ramionami.
[tex]\alpha=180^\circ-2*75^\circ=180^\circ-150^\circ=30^\circ[/tex]
Policzmy pole ze wzoru:
[tex]P=\frac{1}{2}ab\sin\alpha\\P=\frac{1}{2}*20*20*\sin30^\circ=10*20*\frac{1}{2}=10*10=100\ [cm^2][/tex]
Odp: A
Zadanie 3.
Skorzystamy z tw. cosinusów.
[tex]c^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha\\c^2=4^2+5^2-2*4*5*\cos120^\circ\\\cos120^\circ=\cos(180^\circ-60^\circ)=-\cos60^\circ=-\frac{1}{2}\\c^2=16+25-40*(-\frac{1}{2})\\c^2=41+20\\c^2=61\\c=\sqrt{61}[/tex]
Odp: C
Zadanie 4.
Skorzystamy z tw. cosinusów.
[tex](\sqrt{19})^2=(\sqrt5)^2+3^2-2*\sqrt5*3*\cos\alpha\\19=5+9-6\sqrt5*\cos\alpha\\19=14-6\sqrt5*\cos\alpha\\5=-6\sqrt5*\cos\alpha\ |:(-6\sqrt5)\\\cos\alpha=\frac{5}{-6\sqrt5}*\frac{\sqrt5}{\sqrt5}=-\frac{5\sqrt5}{6*5}=-\frac{\sqrt5}{6}\approx-0,3727\\\alpha\approx112^\circ[/tex]
Jest jakiś błąd w zadaniu.
Zadanie 5.
Pole zamalowanej figury policzymy tak: dodamy pola półkoli czerwonych (razem tworzą koło o promieniu 5), pola półkoli niebieskich (razem tworzą koło o promieniu 3) i prostokąta oraz odejmiemy pole koła opisanego na prostokącie.
Promień koła opisanego na prostokącie:
[tex]R=\frac{c}{2}\\c^2=10^2+6^2\\c^2=100+36\\c^2=136\\c=\sqrt{136}=\sqrt{4*34}=2\sqrt{34}\\R=\sqrt{34}[/tex]
Zatem pole zamalowanej figury to
[tex]P=\pi*5^2+\pi *3^2+10*6-\pi*(\sqrt{34})^2=25\pi+9\pi+60-34\pi=60[/tex]
Odp: C
Zadanie 6.
Z podobieństwa trójkątów prostokątnych mamy
[tex]\frac{\sqrt{18}}{3}=\frac{h}{\frac{\sqrt{18}}{2}}\ |*\frac{\sqrt{18}}{2}\\h=\frac{\sqrt{18}}{3}*\frac{\sqrt{18}}{2}=\frac{18}{6}=3[/tex]
Wysokość trójkąta jest równa 3 i jest równa promieniowi. Zatem trójkąt ten jest prostokątny równoramienny. Podstawę można policzyć ze wzoru
[tex]a=\sqrt{18}*\sqrt2=\sqrt{36}=6[/tex]
